§ 3. Координаты прямой; арифметическая проективная плоскость; общее определение проективной плоскости

1. Координаты прямой. Читателю уже давно известно, что координаты можно определять не только для точек, по и для других геометрических объектов; например, мы с самого начала этих «Лекций» говорим о координатах вектора и только что ввели понятие однородных координат луча связки. Координаты любого геометрического объекта (точки, вектора, луча связки) всегда являются числами, вполне определяющими данный геометрический объект.

Пусть теперь на проективной плоскости дана прямая своим уравнением

Тройка коэффициентов вполне определяет уравнение (1) и, следовательно, прямую, выражаемую этим уравнением. При этом два уравнения: (1) и

тогда и только тогда определяют одну и ту же прямую, если их коэффициенты пропорциональны между собою, т. е. если

В самом деле, если уравнения (1) и (2) определяют одну и ту же прямую, то всякая тройка чисел удовлетворяющая одному из этих уравнений, удовлетворяет и другому, т. е. уравнения (1) и (2) эквивалентны (см. гл. X, § 2, следствие 2 теоремы 5), но два однородных уравнения (1) и (2) эквивалентны тогда и только тогда, когда их коэффициенты пропорциональны.

Определение 3. Тройка коэффициентов любого уравпення данной прямой d называется тройкой (однородных) координат этой прямой, а также тройкой координат плоскости связки О (в системе координат естественно связанной с системой данной в плоскости ).

Очевидно: «запрещенная» тройка не может быть тройкой координат никакой прямой. Далее, из только что доказанного следует:

1. Любые две тройки координат данной прямой пропорциональны между собою.

2. Если данная тройка есть тройка коордииат данной прямой, то и всякая тройка, пропорциональная тройке есть тройка координат той же прямой.

Другими словами: множество всех троек координат данной прямой есть класс троек. Положение с однородными координатами прямых совершенно такое же, как с однородными координатами точек. Мы можем резюмировать это положение следующим образом:

Всякая (незапрещенная) тройка чисел может рассматриваться и как тройка однородных координат некоторой точки на проективной плоскости, и как тройка координат некоторой прямой. Две тройки определяют при этом одну и ту же точку, соответственно одну и ту же прямую, тогда и только тогда, когда они пропорциональны между собою.

Прямую с координатами мы обозначаем так:

Прямая и точка инцидентны, если

Пример. Прямая или есть прямая прямая или есть прямая прямая (ось ординат) или есть прямая несобственная прямая есть прямая

2. Арифметическая проективная плоскость. Теперь читатель готов к введению следующего определения.

Определение 4. Арифметической проективной плоскостью называется множество элементов двух родов, называемых соответственно и «арифметическими . И те и другие суть классы пропорциональных между собою числовых троек, снабженные отметкой, указывающей, имеется ли в виду «точка» или «прямая»: точки обозначаются, например, через а прямые — через . При этом между точками и прямыми установлено отношение инцидентности, состоящее в том, что точка и прямая называются инцидентными между собою, если

Замечание 1. Ставя в соответствие точкам и прямым арифметической проективной плоскости прямые и плоскости связки О, имеющие в некоторой фиксированной системе координат соответственно координаты видим, что получаем взаимно однозначное соответствие между элементами арифметической проективной плоскости и элементами связки, сохраняющее отношение инцидентности (точка и прямая арифметической плоскости инцидентны между собою тогда и только тогда, когда инцидентны между собою соответствующие им луч и плоскость связки).

3. Общее определение проективной плоскости. Наконец, мы можем дать и следующее общее

Определение 5. Проективной плоскостью называется вообще всякое множество , состоящее из элементов двух родов, называемых соответственно «точками» и «прямыми» и связанных между собою некоторым отношением, называемым отношением инцидентности между какой-нибудь «точкой» и какой-нибудь «прямой». При этом требуется, чтобы существовало сохраняющее инцидентность взаимно однозначное соответствие между «точками» и «прямыми» проективной плоскости , с одной стороны, и лучами и плоскостями связки, с другой стороны: «точка» и «прямая» проективной плоскости инцидентны между собою тогда и только тогда, когда инцидентны соответствующие им луч и плоскость связки. В частности, проективной плоскостью является и сама связка, если ее лучи называть «точками», а

Замечание 2. Взаимно однозначное соответствие между элементами (точками и прямыми) двух проективных плоскостей, сохраняющее отношение инцидентности, называется изоморфным соответствием (изоморфизмом) этих двух плоскостей. Мы видим, что все проективные плоскости изоморфны связке и, следовательно, изоморфны между собою. Очевидно также, что всякая проективная плоскость изоморфна арифметической проективной плоскости (так как связка ей изоморфна).

Замечание 3. До тех пор, пока в пространстве не выбрана аффинная координатная система , все лучи связки О и все плоскости этой связки (т. е. все «точки» и все «прямые» проективной плоскости) равноправны между собою — никаких несобственных «точек» и никаких несобственных «прямых» связка О сама по себе не знает. Не зпаег их и проективная геометрия, которая есть не что иное, как геометрия связки.

Лишь после того, как выбрана система координат с началом в центре связки — и этим выбором установлен определенный изоморфизм между связкой и арифметический проективной плоскостью, — можно говорить о несобственных лучах связки (несобственных точках плоскости) как о лучах (о точках), третья координата которых равна нулю; можно говорить и о несобственной прямой которой все эти точки инцидентны.

Положение аналогично тому, которое мы имели в теории -мерных векторных и точечно-векторных пространств: выбор в таком пространстве определенного базиса (определенной системы координат) означало установление определенного изоморфизма между данным пространством и соответствующим арифметическим пространством, что в свою очередь позволяло ограничиться исследованием этого последнего.

Подобным же образом, изучая любую проективную плоскость , мы можем всегда заменить ее по нашему желанию связкой арифметической проективной плоскостью Последнее особенно целесообразно, если желательно с самого начала выделить несобственные элементы. При этом удобно и законно представлять себе арифметическую проективную плоскость как результат введения однородных координат (относительно некоторой «исходной» аффинной координатной системы ) на данной обычной плоскости как это мы делали в начале § 2.

Проективную плоскость с выделенной на ней несобственной прямой называют «аффинно-проективной» плоскостью — по причинам, которые выяснятся в § 6.

4. Комплексная проективная плоскость. ограничимся определением арифметической комплексной проективной плоскости.

Комплексной арифметической проективной плоскостью называется множество элементов двух родов, называемых соответственно комплексными арифметическими точками и комплексными арифметическими прямыми. И те и другие суть классы пропорциональных между собою троек, теперь уже произвольных комплексных, чисел, снабженных по-прежнему отметкой, указывающей, идет ли речь о точках или прямых; точки будут обозначаться через прямые — через Среди всех троек комплексных чисел лишь одна тройка по-прежнему остается запрещенной. Точка (соответственно прямая) называется вещественной если среди троек классом которых она является, имеется тройка, состоящая из действительных чисел. Так, точка есть действительная точка: она может быть записана и в виде Все не действительные точки (прямые) называются мнимыми.

Между точками и прямыми комплексной проективной плоскости установлено отношение инцидентности: точка и прямая называются инцидентными между собою, если

Так же можно говорить и о комплексной связке как о множестве всех комплексных прямых («лучей» связки) и плоскостей, проходящих через одну какую-нибудь действительную точку О комплексного трехмерного пространства. В дальнейшем (уже в следующем ) мы будем предполагать, что в связке О (вообще говоря, комплексной) дана система координат которая всегда будет предполагаться действительной (т. е. не только точка О, но и векторы будут всегда вещественными). Отождествляя луч связки, имеющий в избранной «исходной» системе координат координаты с точкой а плоскость связки, имеющую координаты, прямой арифметической проективной плоскости, мы и саму связку можем отождествить с арифметической проективной плоскостью.