§ 6. Замечание о действительных и мнимых линиях

Если прямая задана каким-нибудь уравнением

то все уравнения вида

где k — какое-нибудь комплексное число, и только эти уравнения задают ту же прямую.

Если среди этих уравнений имеется уравнение, все коэффициенты которого вещественны, то прямая (1) называется вещественной; в противном случае она называется мнимой.

Например, прямая

есть вещественная прямая: она может быть задана уравнением

Прямая

является мннмой.

Вообще, алгебраическая кривая, заданная уравнением

где — какой-нибудь многочлен от двух переменных, называется вещественной, если комплексное число может быть подобрано таким образом, что в многочлене все коэффициенты суть вещественные числа. Может, однако, случиться, что на вещественной кривой не лежит ни одной вещественной точки. Так, например, кривая, задаваемая уравнением

есть вещественная кривая, однако на ней нет ни одной вещественной точки. Эта кривая называется окружностью радиуса i (причина такого названия читателю, вероятно, ясна.

Кривая, задаваемая в прямоугольной системе координат уравнением

называется окружностью нулевого радиуса. Она имеет единственную вещественную точку . Эта кривая распадается на пару мнимых прямых

так как

Среди всех линий на плоскости мы в этих лекциях будем рассматривать, кроме прямых, лишь вещественные кривые второго порядка и будем всегда задавать их уравнениями

все коэффициенты в которых вещественны.