§ 7. Автополярный треугольник

Пусть — нераспадающаяся кривая второго порядка. Треугольник ABC называется автополярным относительно кривой , если каждая его вершина есть полюс противолежащей ей стороны треугольника (т. е. точка А есть полюс прямой , точка В — полюс прямой , точка С — полюс прямой ).

Докажем, что имеется бесконечное множество треугольников, автополярных относительно кривой

В самом деле, возьмем произвольную точку А, не лежащую на кривой . Обозначим через а поляру точки А относительно кривой . На прямой а возьмем произвольную точку В; ее поляру обозначим через Точка А, не принадлежащая кривой , не инцидентна своей поляре а и поэтому заведомо отлична от точки В, которая взята на прямой а. Поэтому прямые а и b не совпадают между собою и, следовательно, пересекаются в некоторой точке так что Поляру точки С обозначим через с. Так как точка С инцидентна обеим прямым а и то поляра с этой точки инцидентна полюсам прямых т. е. . Аналогично точка А, как полюс прямой а (инцидентной точкам В и С), инцидентна полярам и с точек В и С, т. е.

Рис. 252.

Пусть теперь за координатный треугольник проективной системы координат взят какой-нибудь треугольник ABC, автополярный относительно данной кривой второго порядка

Мы сейчас докажем, что при таком выборе системы координат форма непременно имеет канонический вид, т. е. что

Будем считать, например, что так что координатная запись точек А, В, С и прямых есть соответственно

Прямая а есть поляра точки А, значит,

Но а есть прямая так что . Из того, что прямая есть поляра точки мы таким же точно образом выведем, что и поэтому уравнение (1) действительно имеет вид

Итак, по крайней мере для форм ранга 3 мы доказали, что приведение их к каноническому виду означает выбор любой такой системы проективных координат, координатный треугольник которой является автополярным по отношению к кривой

Вернемся с этой повой точки зрения к ранее доказанному факту, что в аффинной системе координат, начало которой есть центр центральной кривой второго порядка, а оси являются сопряженными диаметрами, уравнение кривой имеет вид

или, в однородных координатах, соответствующих данным аффинным,

Координатный треугольник этой системы координат есть треугольник ABC, где

Нетрудно видеть, что этот треугольник является автополярным. В самом деле, его стороны суть несобственная прямая и оси координат соответствующей аффинной системы. Но несобственная прямая есть поляра центра кривой, т. е. начало координат тогда как ось абсцисс (будучи диаметром, сопряженным к оси ординат ) есть поляра несобственной точки этой последней, т. е. точки В, а ось ординат а есть поляра несобственной точки А оси абсцисс.