§ 5. Аффинная классификация кривых второго порядка

Мы сейчас покажем, что аффинная классификация кривых второго порядка дается самими наименованиями кривых, т. е. что аффинными классами кривых второго порядка являются классы:

действительных эллипсов;

мнимых эллипсов;

гипербол;

пар действительных пересекающихся прямых;

пар мнимых (сопряженных) пересекающихся;

парабол;

пар параллельных действительных прямых;

пар параллельных мнимых сопряженных прямых;

пар совпадающих действительных прямых.

Надо доказать два утверждения:

А. Все кривые одного наименования (т. е. все эллипсы, все гиперболы и т. д.) аффинно эквивалентны между собою.

Б. Две кривые различных наименований никогда не являются аффинно эквивалентными.

Доказываем утверждение А. В главе XV, § 3, уже было доказано, что все эллипсы аффинно эквивалентны одному из них, а именно окружности а все гиперболы — гиперболе Значит, все эллипсы, соответственно все гиперболы, аффинно эквивалентны между собою. Все мнимые эллипсы, будучи аффинно эквивалентны окружности — — 1 радиуса также аффинно эквивалентны между собою.

Докажем аффинную эквивалентность всех парабол. Мы докажем даже больше, а именно что все параболы подобны между собою. Достаточно доказать, что парабола, данная в некоторой системе координат своим каноническим уравнением

подобна параболе

Для этого подвергнем плоскость преобразованию подобия с коэффициентом — :

Тогда так что при нашем преобразовании кривая

переходит в кривую

т. е. в параболу

что и требовалось доказать.

Переходим к распадающимся кривым. В § формулы (9) и (11), стр. 401 и 402) было доказано, что кривая, распадающаяся на пару пересекающихся прямых, в некоторой (даже прямоугольной) системе координат имеет уравнение

Делая дополнительное преобразование координат

видим, что всякая кривая, распадающаяся на пару пересекающихся действительных, соответственно мнимых сопряженных, прямых, имеет в некоторой аффинной системе координат уравнение

Что касается кривых, распадающихся на пару параллельных прямых, то каждая из них может быть (даже в некоторой прямоугольной системе координат) задана уравнением

для действительных, соответственно

для мнимых, прямых. Преобразование координат позволяет в этих уравнениях положить (или для совпадающих прямых Отсюда следует аффинная эквивалентность всех распадающихся кривых второго порядка, имеющих одно и то же наименование.

Переходим к доказательству утверждения Б.

Заметим прежде всего: при аффинном преобразовании плоскости порядок алгебраической кривой остается неизменным. Далее: всякая распадающаяся кривая второго порядка есть пара прямых, а при аффинном преобразовании прямая переходит в прямую, пара пересекающихся прямых переходит в пару пересекающихся, а пара параллельных — в пару параллельных; кроме того, действительные прямые переходят в действительные, а мнимые — в мнимые. Это вытекает из того, что все коэффициенты в формулах (3) (гл. XI, § 3), определяющих аффинное преобразование, суть действительные числа.

Из сказанного следует, что линия, аффинно эквивалентная данной распадающейся кривой второго порядка, есть распадающаяся кривая того же наименования.

Переходим к нераспадающимся кривым. Опять-таки при аффинном преобразовании действительная кривая не может перейти в мнимую, и обратно. Поэтому класс мнимых эллипсов аффинно инвариантен.

Рассмотрим классы действительных нераспадающихся кривых: эллипсов, гипербол, парабол.

Среди всех кривых второго порядка всякий эллипс, и только эллипс, лежит в некотором прямоугольнике, тогда как параболы и гиперболы (равно как и все распадающиеся кривые) простираются в бесконечность.

При аффинном преобразовании прямоугольник ABCD, содержащий данный эллипс, перейдет в параллелограмм, содержащий преобразованную кривую, которая, таким образом, не может уходить в бесконечность и, следовательно, является эллипсом.

Итак, кривая, аффинно эквивалентная эллипсу, есть непременно эллипс. Из доказанного следует, что кривая, аффинно эквивалентная гиперболе или параболе, не может быть эллипсом (а также, как мы знаем, не может быть и распадающейся кривой. Поэтому остается лишь доказать, что при аффинном преобразовании плоскости гипербола не может перейти в параболу, и наоборот. Это, пожалуй, проще всего следует из того, что у параболы нет центра симметрии, а у гиперболы он есть. Но так как отсутствие центра симметрии у параболы будет доказано лишь в следующей главе, то мы сейчас дадим второе, тоже очень простое доказательство аффинной неэквивалентности гиперболы и параболы.

Лемма. Если парабола имеет общие точки с каждой из двух полуплоскостей, определяемых в плоскости данной прямой d, то она имеет хотя бы одну общую точку и с прямой .

В самом деле, мы видели, что существует такая система координат, в которой данная парабола имеет уравнение

Пусть относительно этой системы координат прямая d имеет уравнение

По предположению на параболе имеются две точки из которых одна, положим лежит в положительной, а другая, — в отрицательной полуплоскости относительно уравнения (1). Поэтому, помня, что можем написать

так что многочлен принимает в двух концах отрезка числовой прямой значения, противоположные по знаку. Но тогда существует значение лежащее между при котором многочлен принимает значение нуль;

Точка где лежит на параболе и на прямой . Лемма доказана.

Пусть при некотором аффинном преобразовании А гипербола К переходит в кривую К; докажем, что К не может быть параболой. Для этого обозначим через d вторую (так называемую «мнимую») ось гиперболы К (см. гл. VI, § 5). При преобразовании А прямая d перейдет в некоторую прямую d, а полуплоскости, определяемые прямой d, перейдут в полуплоскости, определяемые прямой d. Гипербола К не имеет ни одной общей точки с прямой d, но имеет общие точки с каждой из двух полуплоскостей, на которые прямая d разбивает плоскость; кривая К обладает теми же свойствами относительно прямой d. Поэтому, в силу только что доказанной леммы, кривая К не может быть параболой — и утверждение об аффинной неэквивалентности гиперболы и параболы доказано. Вместе с тем и закончена аффинная классификация кривых второго порядка.