ГЛАВА IX. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ КООРДИНАТ (ПРОДОЛЖЕНИЕ): ОРИЕНТАЦИЯ ПЛОСКОСТИ И ПРОСТРАНСТВА; УГЛЫ ЭЙЛЕРА; ОБЪЕМ ОРИЕНТИРОВАННОГО ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕДА; ВЕКТОРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ДВУХ ВЕКТОРОВ

§ 1. Ориентация пространства (плоскости)

Назовем в пространстве (или на плоскости) два координатных базиса (два репера) одноименными, если матрица перехода от одного из них к другому имеет положительный детерминант; в противном случае (т. е. если детерминант матрицы перехода отрицателен) назовем базисы разноименными. В случае ортогональных базисов на плоскости это определение и его геометрический смысл нам уже известны из § 3 главы VIII. Одноименность двух базисов будем иногда записывать так: .

Покажем, что данное определение одноименности удовлетворяет так называемым аксиомам равенства, т. е. требованиям рефлексивности , симметрии (из следует ) и транзитивности (из следует ).

Рефлексивность вытекает из того, что матрица перехода от базиса к нему самому (т. е. матрица тождественного преобразования) есть единичная матрица, имеющая детерминант 1.

Симметрия вытекает из того, что детерминанты матрицы С и обратной к ней матрицы имеют один и тот же знак. Для того чтобы убедиться в транзитивности, рассмотрим три базиса:

Если обозначить матрицы перехода от I к II, от II к III и от I к III соответственно через , то , значит, и , откуда утверждение следует.

Из сказанного следует:

Множество всех базисов пространства (плоскости) распадается на попарно не пересекающиеся классы, обладающие тем свойством, что все базисы, принадлежащие одному какому-нибудь классу, одноименны, а всякие два базиса, принадлежащие различным классам, разноименны между собою.

Докажем, что число этих классов равно двум.

Для того чтобы убедиться, что имеется по крайней мере два класса, возьмем какой-нибудь базис и заметим, что матрица перехода от есть

ее детерминант равен —1, значит, базисы разноименны, они принадлежат к различным классам.

Теперь мы покажем, что всякий базис принадлежит к одному из двух классов: либо к классу, содержащему базис , либо к классу, содержащему базис . Другими словами, докажем, что всякий базис , не одноименный базису , одноименен базису .

В самом деле, матрица перехода от имеет (в силу разноименности этих базисов) отрицательный детерминант; матрица перехода от имеет детерминант —1; значит, матрица перехода от (будучи произведением двух названных матриц) имеет положительный детерминант. Утверждение доказано.

В каждом из двух классов базисов имеются ортогональные базисы. В самом деле, берем какой-нибудь ортогональный базис . Он содержится в одном из наших двух классов; ортогональный базис содержится тогда во втором классе.

Два базиса, получающиеся один из другого одной транспозицией (т. е. перестановкой двух каких-либо из трех векторов, образующих данный базис), всегда разноименны. В самом деле, пусть базис получается из базиса перестановкой двух каких-нибудь векторов этого последнего, например векторов , так что

Тогда соответствующая матрица перехода

имеет детерминант —1.

Поэтому два базиса, получающиеся один из другого произвольной перестановкой их векторов, одноименны, если эта перестановка четная, и разноименны, если перестановка нечетная: базисы

входят в один класс, а базисы

— в другой.

Введем теперь следующее весьма важное определение.

Скажем, что базис переходит в базис посредством непрерывной деформации, если для каждого числа t, принадлежащего некоторому отрезку , дай базис , а именно:

так что все координаты и т. д. являются непрерывными функциями от t на отрезке , причем при мы получаем исходный базис , т. е.

а при получаем базис :

Теперь предположим, кроме того, что базис приложен к точке , где , суть также непрерывные на отрезке функции от t, причем Тогда мы говорим, что репер переходит в репер посредством непрерывной деформации. Наглядный смысл этих определений таков.

Считая параметр t временем, изменяющимся от начального момента до конечного , мы имеем непрерывно меняющийся («деформирующийся») во времени репер , начальное состояние которого (при есть наш исходный репер , а конечное — репер (в который превратился репер в результате процесса деформации, длившегося отрезок времени ).

Имеет место следующее очевидное предложение.

Если базис переходит в базис посредством деформации, которая длится, положим, отрезок времени , а базис , переходит в базис посредством деформации, которая длится в течение отрезка времени , то базис переходит в посредством деформации, которая длится в течение отрезка времени

Далее, если базис переходит посредством непрерывной деформации в базис , то и базис переходит посредством непрерывной деформации в базис , достаточно положить и

при получаем и, следовательно, и т. д., при имеем , значит, и т. д.

Аналогичные предложения, разумеется, верны и для деформации реперов.

Замечание. Обычно за отрезок берут единичный отрезок .

Если рассматривать (как это привычно читателю из элементарного курса механики) движение твердого тела в пространстве как непрерывный процесс, происходящий в течение некоторого промежутка времени (положим, от до ), то становится очевидным, что частным случаем непрерывной деформации репера является движение (перемещение) этого репера (рассматриваемого как твердое тело): в начальный момент времени наш репер занимает положение (которое будем обозначать также через ), в конечный момент репер займет положение а в промежуточный момент t репер (перемещаясь в пространстве как твердое тело) будет находиться в положении Сеевз. Обозначим координаты вектора (относительно начального репера ) через , так что

и аналогично

Тогда непрерывность процесса перемещения и находит свое математическое выражение в том, что координаты суть непрерывные функции времени .

Докажем следующее основное предложение:

1а. Если базис переходит в базис посредством непрерывной деформации, то оба базиса одноименны.

В самом деле, положим

надо доказать, что числа и - одного и того же знака. Но детерминант , будучи многочленом от своих элементов , являющихся непрерывными функциями от t, есть непрерывная функция от t на всем отрезке . Если бы ее значения в концах этого отрезка имели разные знаки, то существовало бы промежуточное значение , для которого . Но этого не может быть, так как , как детерминант матрицы перехода от базиса к базису , всегда отличен от нуля.

Теперь мы докажем обратное предложение:

16. Всякие два одноименных базиса (репера) могут быть переведены друг в друга непрерывной деформацией.

План доказательства таков. Мы сначала доказываем, что всякий репер может быть непрерывной деформацией переведен в прямоугольный. После этого доказываем, что всякие два одноименных прямоугольных репера могут быть переведены друг в друга движением в пространстве, т. е. специальным видом непрерывной деформации.

Предположим, что мы доказали оба эти факта. Пусть и Оееез — два произвольных одноименных репера, переводим их непрерывной деформацией соответственно в прямоугольные реперы . Тогда , следовательно (по свойству . Но одноименные реперы , Огортогональны; значит, по сделанному предположению они могут быть переведены друг в друга непрерывной деформацией.

Переводим теперь непрерывными деформациями последовательно

(последнее возможно: раз существует деформация, переводящая , то существует, как мы видели, и деформация, переводящая ). В результате трех последовательных деформаций (А), (Б), (В) получаем искомую деформацию, переводящую в . Основное предложение доказано.

Рис. 104.

Переходим к выполнению намеченного плана.

Доказываем первое утверждение: всякий репер может быть непрерывной деформацией переведен в ортогональный.

Докажем это утверждение сначала для плоскости. Пусть данный репер, . Построим ортогональный репер так, чтобы орт лежал на оси, несущей вектор , а орт (перпендикулярный к лежал в той же полуплоскости (из двух полуплоскостей, определяемых прямой ), в которой лежит вектор . Тогда, если угол , между векторами и острый (рис. 104, а), то он весь лежит внутри прямого угла между , а если угол туггой (рис. 104, б), то он, наоборот, содержит прямой угол между . Для каждого , обозначим через , соответственно через , точку отрезка , соответственно , делящую этот отрезок в отношении . При любом t, , вектор лежит на полупрямой , несущей вектор , а вектор лежит внутри треугольника , имеющего с полупрямой , единственную общую точку О.

Поэтому векторы при любом t не коллинеарны, т. е. образуют репер , непрерывно меняющийся при изменении t от 0 до 1 и осуществляющий непрерывный переход (деформацию) от репера к реперу .

Переходим к случаю пространства. В плоскости произведем те же построения, как и выше. Обозначим через орт, перпендикулярный к плоскости и направленный в ту же сторону от этой плоскости, что и вектор (рис. 105).

Рис. 105.

В полной аналогии с предыдущим случаем обозначаем через , точку отрезка , делящую этот отрезок в отношении любом i, , определен, таким образом, вектор и репер , непрерывно зависящий от и осуществляющий при изменении от 0 до 1 непрерывный переход от данного репера к прямоугольному реперу . Первое утверждение доказано.

Переходим к доказательству второго утверждения. Всякий прямоугольный репер может быть посредством непрерывного движения, являющегося, как было сказано выше, частным случаем непрерывной деформации, переведен во всякий другой одноименный с ним прямоугольный репер .

Посредством сдвига на вектор ОО можно прежде всего совместить начала О и обоих реперов; поэтому можно ограничиться случаем, когда оба репера имеют общее начало О. Теперь начинаем с того, что совмещаем орты . Для этого проведем через эти орты (имеющие общее начало О) плоскость (рис. 106) и восставим к этой плоскости в точке О перпендикуляр d. Совершим теперь поворот репера (как твердого тела) вокруг прямой d на угол , между ортами , в таком направлении, чтобы орт совместился с ортом .

Этот поворот переведет орты в какие-то взаимно перпендикулярные орты , лежащие в плоскости, перпендикулярной к орту (и проходящей через точку О), т. е. в плоскости . Теперь остается поворотом репера вокруг прямой, несущей орт , совместить орт с ортом ОЕ. Этот поворот, оставляя пару ортов в их плоскости (которая есть плоскость ) и совместив орт с ортом , переведет орт (с которым еще ранее был совмещен орт ) в орт, перпендикулярный к , т. е. либо в , либо в . Но вторая возможность исключена, так как реперы и , разноименны и поэтому не могут быть совмещены движением в пространстве. Утверждение доказано.

Рис. 106.

Вместе с ним завершено доказательство и следующего результата (верного как для плоскости, так и для пространства).

Теорема 1. Для того чтобы два репера (два базиса) были одноименны, необходимо и достаточно, чтобы один из них можно было непрерывной деформацией перевести в другой. Если данные реперы прямоугольны, то их можно перевести друг в друга даже движением в пространстве. Если реперы разноименны, то их нельзя перевести друг в друга даже никакой деформацией, значит, и подавно никаким движением.

Поэтому

Теорема 1. Два прямоугольных репера (на плоскости или в пространстве) тогда и только тогда одноименны, когда один из них может быть переведен в другой непрерывным движением (в плоскости, соответственно в пространстве).

Пусть — два прямоугольных разноименных репера. Тогда реперы одноименны и, например, первый из них может быть движением переведен во второй. Но репер является зеркальным отражением репера относительно плоскости . Поэтому имеет место

Теорема 2. Если ортогональные реперы и разноименны, то один из них может быть переведен в другой посредством движения со следующим за ним (или предшествующим ему) зеркальным отражением.

Доказательство следующего замечания можно в качестве упражнения предоставить читателю.

Замечание. 1. Беря зеркальные отражения етносительно произвольной плоскости всех базисов (реперов) одного какого-нибудь класса в пространстве, получим все базисы (реперы) другого класса. Аналогичный результат, разумеется, имеет место и в плоскости.

Определение. Ориентировать плоскость или пространство — значит один из двух классов базисов (реперов) объявить положительным (а другой — отрицательным). Тогда и всякий базис (репер) называется положительным или отрицательным в зависимости от того, к какому классу он принадлежит.

Для того чтобы ориентировать (плоскость или пространство), достаточно задать один какой-нибудь базис и объявить положительными все с ним одноименные базисы.

Замечание 2. Если плоскость ориентирована, то в пей определяется и положительное направление вращения: это направление кратчайшего вращения т. е. вращения на угол из тех двух вращений (на и на , посредством которых можно первый орт (т. е. орт ) положительного прямоугольного репера перевести во второй (т. е. в орт ).

Обратно, если на плоскости задано положительное направление вращения, то определена и ориентация плоскости: репер положителен, если кратчайший поворот на угол (т. е. поворот на угол

переводящий орт в орт , происходит в положительном направлении.

Таким образом, ориентация плоскости фактически совпадает с выбором положительного направления вращения.

«Физическое», если так можно выразиться, осмысливание двух классов реперов на плоскости общеизвестно: назовем правым такой репер , где кратчайший поворот, переводящий орт в орт , происходит против часовой стрелки (рис. 107, а), т. е. где расположены, как большой и указательный пальцы правой руки, если смотреть на ее ладонь.

Левым назовем противоположно ориентированный репер (рис. 107, б) (в нем аналогичный поворот происходит по часовой стрелке).

В пространстве репер называется правым, если наблюдатель, стоящий вдоль вектора (ногами — в начале, головой — в конце этого вектора), видит кратчайший поворот, переводящий вектор в вектор в плоскости , происходящим против часовой стрелки (рис. 108, б). Противоположно ориентированный репер называется левым (рис. 108, а) (см. далее по этому поводу замечание 4).

Рис. 107.

Мы ориентируем пространство, объявляя в нем в качестве положительных, например, все правые реперы.

Рис. 108.

Замечание 3. Можно ориентировать пространство, выбрав в нем ориентированную плоскость и ориентированную (т. е. направленную) прямую d, пересекающую плоскость 31 (в некоторой точке О) (рис. 109): берем на плоскости положительный репер ; дополняя его ортом , определяющим направление, выбранное на прямой d, получим репер , который и объявим положительным.

Очень важно следующее

Замечание 4.

Если пространство ориентировано и в нем дана направленная прямая d, то из двух направлений вращения пространства вокруг прямой d следующее направление объявляется положительным: берется положительный прямоугольный репер , орт которого лежит на прямой d и направлен в выбранном на этой прямой направлении; тогда положительным объявляется то вращение вокруг прямой d, которое переводит орт в орт посредством кратчайшего поворота т. е. поворота на угол .

Имеет место и обратное предложение:

1) Можно ориентировать пространство, задав в нем направление вращения вокруг некоторой направленной прямой.

Рис. 109.

Рис. 110.

2) Можно ориентировать пространство, задав в нем ориентированную плоскость и одну (из двух) ее сторону (т. е. полупространство, на которые плоскость разбивает пространство).

Замечание 5. Пусть в пространстве дан прямоугольный репер этим задана и ориентация пространства. Тогда определяется и соответствующее этой ориентации («положительное») направление вращения вокруг каждой из координатных осей; это направления кратчайших вращений на угол — осей , (рис. 110) (несущих соответственно орты ), переводящих

Если выбранный репер правый, то каждое из названных вращений есть вращение против часовой стрелки (для зрителя, расположенного вдоль соответствующей оси ногами в начале, головой в конце орта этой оси).