§ 2. Расположение двух прямых на плоскости

Пусть теперь даны два уравнения:

Посмотрим, когда прямые d и d, определяемые этими уравнениями, параллельны в широком смысле, когда они совпадают, когда параллельны в собственном смысле (т. е. не имеют ни одной общей точки).

Ответ на первый вопрос получается сразу: прямые d и d тогда и только тогда параллельны в широком смысле, когда их направляющие векторы коллинеарны, т. е. когда имеет место пропорция , а следовательно, и пропорция

Если эта пропорция может быть продолжена до пропорции

то прямые совпадают: в этом случае все коэффициенты одного из двух уравнений (1), (Г) получаются из коэффициентов другого умножением на некоторое и, значит, уравнения (1) и эквивалентны (всякая точка удовлетворяющая одному Уравнению, удовлетворяет и другому).

Обратно, если две прямые совпадают, то имеет место пропорция (3).

Докажем это сначала в случае, когда наши прямые параллельны оси ординат. Тогда , и нам нужно доказать только равенство .

Но последнее равенство (в котором вытекает из того, что обе (совпадающие) прямые пересекают ось абсцисс в одной и той же точке с абсциссой .

Пусть теперь совпадающие примые не параллельны оси ординат. Тогда они пересекают ее в одной и той же точке Q с ординатой и мы имеем пропорцию , которая вместе с пропорцией (2) (выражающей параллельность прямых в широком смысле) и дает нам искомую пропорцию (3).

Параллельность в собственном смысле означает, что имеет место параллельность в широком смысле (т. е. выполнено условие (2)), но нет совпадения (т. е. не выполнено ). Это означает, что пропорция

имеет место, тогда как

Совокупность двух соотношений (2) и (4) обычно записывают в виде одной формулы:

Подведем итог всему доказанному.

Теорема 1. Всякая прямая d на плоскости, снабженной аффинной системой координат, определяется некоторым уравнением первой степени между координатами ее точек. Обратно, всякое уравнение первой степени

является уравнением некоторой (единственной) прямой d; при этом все векторы , коллинеарные этой прямой, и только они удовлетворяют однородному уравнению

так что, в частности, вектор является направляющим вектором нашей прямой. Два уравнения

тогда и только тогда определяют одну и ту же прямую, когда

Пропорция

выражает условие, необходимое и достаточное, чтобы уравнения (1) и (1) определяли прямые, параллельные в широком смысле.

Для параллельности в собственном смысле необходимым и достаточным является требование, чтобы выполнялось условие (2) без выполнения условия (3), что записывается и в виде (5).

Замечание. Общее уравнение (1) первой степени часто называют «общим уравнением прямой на плоскости»; уравнение вида

называется ну равнением с угловым коэффициентом». Вместо того, чтобы говорить «прямая, определяемая уравнением , говорят просто «прямая (1)».