§ 5. Самосопряженные операторы

Мы теперь будем говорить не только о преобразованиях, но и просто о линейных отображениях пространства в себя, о линейных операторах в

Прежде всего напомним, что в базисе матрица А оператора А тогда и только тогда имеет диагональный вид

когда векторы , составляющие этот базис, являются собственными векторами преобразования А, а — собственными значениями этих собственных векторов.

При этом могут быть какими угодно вещественным» числами (среди них могут быть и нули).

Пусть в каком-нибудь ортонормальной базисе матрица А преобразования А есть

Это значит, что

(3)

для всех , т. е. что

Поэтому, если А есть преобразование, задаваемое в том же базисе ел матрицей А, транспонированной к матрице А, то для любых i, k имеем

( координата вектора равна чем отображение А определено однозначно).

Равенства и в своей совокупности эквивалентны одному равенству

означающему, что координата вектора равна координате вектора (это и значит, что матрицы преобразований в базисе транспонированы друг другу).

Если теперь , то

и, далее,

Итак, если в каком-нибудь ортонормальном базисе операторы А и имеют взаимно транспонированные матрицы А и , то они связаны соотношением

не зависящим, очевидно, от выбора того или иного базиса пространства .

Обратно, если операторы связаны условием (5), то, каков бы ни был ортонормальный базис подставляя в (5)

получим соотношение

показывающее, что оператор А в этом базисе имеет матрицу, транспонированную к матрице А оператора А. Отсюда следует, что если дан оператор А, то соотношение (5) определяет единственный оператор А, этому соотношению удовлетворяющий.

Определение 3. Пусть дан оператор А в евклидовом пространстве Единственный оператор А, удовлетворяющий соотношению (5), называется оператором, сопряженным к оператору . Переписывая (5) в виде

замечаем, что оператор, сопряженный к оператору А, есть оператор

т. е. что отношение сопряженности есть отношение симметричное: сопряжены между собою.

Мы доказали следующий факт.

Теорема 8. Если матрицы операторов в каком-нибудь ортонормальном базисе транспонированы друг к другу, то операторы являются сопряженными между собою, и тогда их матрицы взаимно транспонированы в любом ортонормальном базисе.

Определение 4. Оператор А называется самосопряженным (или симметричным), если он совпадает со своим сопряженным оператором

т. е. если

Из предыдущего следует, что оператор А является самосопряженным, если в каком-нибудь (и тогда во всяком) ортонормальном базисе он имеет симметричную матрицу.

Теперь предстоит доказать фундаментальное предложение. Теорема 9. Для всякого самосопряженного оператора Л имеется ортонормальный базис, относительно которого матрица этого оператора имеет диагональный вид.

Доказательству теоремы 9 предпошлем несколько теорем о собственных векторах и собственных значениях самосопряженных, операторов.

Теорема 10. Два собственных вектора самосопряженного оператора А, которым соответствуют различные собственные значения ортогональны между собою.

В самом деле,

так

С другой стороны, и

Так как , то , что и требовалось доказать.

Теорема И. Все характеристические числа самосопряженного оператора А вещественны.

Первое доказательство теоремы 11. Берем в пространстве какой-нибудь ортогональный базис и обозначаем через А матрицу оператора А в базисе . Каждому вектору соответствует набор чисел его координат, и мы пишем

Пусть

— характеристическое число оператора .

Подставляя в систему уравнений, определяющую собственные векторы:

получим в качестве координат собственного вектора, соответствующего характеристическому числу комплексные числа набор которых является «мнимым» вектором пространства (снабженного ортонормальный базисом ).

Определим на мгновение скалярное произведение мнимых векторов (а также мнимого на вещественный) по-прежнему формулой

если

Все свойства скалярного произведения сохраняются, кроме одного: скалярный квадрат мнимого вектора может не быть положительным.

Так как доказательство теоремы 10 от этого свойства не зависит, то теорема 10 сохраняет свою силу и для «мнимых» векторов.

Характеристический многочлен есть многочлен с вещественными коэффициентами; поэтому, если комплексное число

является корнем характеристического многочлена то сопряженное число

также является корнем многочлена . Отсюда следует, что, решая систему уравнений (7) (сначала при затем при ), получим два комплексных собственных вектора их (при (при ), соответствующие координаты которых будут комплексно-сопряженными числами, так что

Векторы как соответствующие различным характеристическим числам, должны иметь скалярное произведение т. е.

или

где суть модули комплексных чисел т. е. неотрицательные числа. Поэтому из равенства (8) следует, что значит, и т. е. вектор — нулевой вектор, тогда как мы имели собственный, т. е. ненулевой, вектор и оператора А. Полученное противоречие доказывает теорему 11.

Второе доказательство теоремы 11. Это доказательство тоже проведем от противного. Пусть характеристическое число оператора А.

По теореме 1 (§ 1) оператор А имеет двумерное инвариантное подпространство, порождаемое векторами , удовлетворяющими соотношениям

Имеем

В силу самосопряженности оператора d имеем

т. е.

или

что, так как означает — вопреки предположению. Теорема 11 доказана.

Теорема 12. Пусть подпространство пространства инвариантное относительно самосопряженного оператора А. Тогда ортогональное дополнение к подпространству P также инвариантно относительно

Теорема 12 содержится, очевидно, в следующем предложении. Теорема 12. Если А — какой-нибудь оператор в имеющий своим инвариантным подпространством, то ортогональное дополнение есть инвариантное подпространство сопряженного оператора

В самом деле, пусть v — произвольный вектор из Q, а — произвольный вектор из P. Так как P инвариантно относительно А, то ,

т. е. , что и требовалось доказать.

Из теорем 11 и 12 основная теорема 9 следует в двух словах. Она, как мы знаем, может быть сформулирована так: каков бы ни был самосопряженный оператор d в пространстве существует ортонормальный базис этого пространства, состоящий из собственных векторов оператора

Докажем эту теорему посредством индукции. При очевидна: всякий вектор длины 1 образует в ортогональный базис и является собственным вектором любого оператора А.

Предполагая теорему доказанной для докажем ее для .

Пусть характеристические числа оператора d в (вещественные в силу теоремы 11) суть

Возьмем одно из них, например Пусть — собственный вектор длины 1, соответствующий числу Он порождает одномерное, инвариантное для А подпространство Ортогональное дополнение к P обозначим через По теореме 12 подпространство Q инвариантно относительно поэтому, рассматривая А как оператор, действующий в Q, можно (по предположению индукции) найти в Q базис состоящий из собственных векторов оператора А. Тогда векторы образуют базис пространства состоящий из собственных векторов оператора А.

Теорема 9 доказана.