§ 2. Детерминант второго порядка. Матрицы

Определение. Выражение обозначается так:

и называется детерминантом (или определителем) второго порядка.

В пашем изложении это выражение появилось как площадь ориентированного параллелограмма, натянутого на два вектора , т. е. как функция двух векторов , данных в определенном порядке своими координатами в некоторой прямоугольной системе координат. Поэтому естественна и такая запись:

Эти два вектора можно записать в виде квадратной таблицы или квадратной матрицы

второго порядка, строками которой являются наши векторы; тогда детерминант (1) называется детерминантом матрицы (3).

Установим некоторые свойства детерминантов второго порядка.

1° Значение детерминанта не меняется, если его строки сделать столбцами, и наоборот (если «транспонироватьл матрицу, детерминант которой берется).

Б самом деле, очевидно,

2° Если поменять местами две строки (два столбца) детерминанта, то его абсолютная величина не меняется, а знак меняется на противоположный:

3° Равенство детерминанта второго порядка нулю означает, что две строки его пропорциональны; пропорциональность строк эквивалентна пропорциональности столбцов.

Это свойство можно сформулировать и так:

3° Детерминант равен нулю тогда и только тогда, когда его строки (столбцы), рассматриваемые как векторы, линейно зависимы между собою.

4° Значение детерминанта не меняется, если к какой-либо его строке почленно прибавить другую строку, умноженную на любой числовой множитель к.

В самом деле, непосредственное вычисление показывает, что

Аналогично — для столбцов.

Мы пришли к понятию детерминанта из геометрических соображений и поэтому сразу же уяснили себе его геометрический смысл. Понятие детерминанта является мощным орудием, применяемым в самых различных вопросах математики.

Исторически это понятие впервые возникло при решении систем уравнений первой степени. Пусть дана система из двух линейных уравнений первой степени с двумя неизвестными:

Будем ее решать, например, методом уравнивания коэффициентов. Получим

Детерминант

называется детерминантом системы (4). Если он отличен от нуля система (4) имеет единственное решение (5), и это решение дает нияс едственную точку пересечения прямых, определяемых уравнениями.

Пусть теперь тогда одна из строк детерминанта (6) — пусть вторая получается из другой умножением на некоторое число :

мы имеем пропорцию . Если при этом и

т. е. если имеет место пропорция то все второе уравнение в системе (4) получается из первого умножением первого на , следовательно, оба уравнения эквивалентны между собою — прямые, определяемые уравнениями (4), совпадают, система (4) имеет бесчисленное множество решений. Если же (7) имеет место, а (8) — нет, то система (4) не имеет ни одного решения, она несовместна (т. е. противоречива) — уравнениями (4), параллельны собственном смысле слова). Мы доказали следующее предложение: Система (4) двух уравнений первой степени с двумя неизвестными имеет единственное решение в том и только в том случае, если детерминант системы отличен от нуля. В этом случае это единственное решение дается формулами (5), называемыми формулами Крамера.

§ 3. Детерминанты третьего порядка

Пусть дана квадратная таблица, состоящая из трех строк и трех столбцов:

Такие таблицы называются (квадратными) матрицами третьего порядка. Назовем молнией такую тройку элементов этой матрицы, что никакие два элемента из этой тройки не принадлежат одному столбцу или одной строке. Всякая молния содержит, таким образом, ровно по одному элементу из каждой строки и ровно но одному элементу из каждого столбца. Она может быть, следовательно, записана в внде

если писать ее элементы в порядке возрастания номеров тех строк, к которым они принадлежат, или в виде

если ее писать в порядке возрастания номеров столбцов.

Существуют ровно две молнии, содержащие элемент это молнии

Точно так же имеются две молнии, содержащие элемент , а именно:

И, наконец, две молнии

содержащие элемент всего в матрице А имеется молний.

Каждая молния порождает вполне определенное взаимно однозначное соответствие между строками и столбцами матрицы А, а именно:

Это же соответствие может быть записано в виде

Другими словами, имеем одну и ту же перестановку:

так что перестановки

взаимно обратны и, следовательно, имеют один и тот же знак: они или обе четные, или обе нечетные. Этот знак называется знаком данной молнии.

В записях (43) первые молнии положительны, а вторые — отрицательны.

Назовем теперь зарядом молнии произведение всех ее элементов, взятое со знаком +, если молния положительна, и со знаком —, если молния отрицательна.

Сумма зарядов всех молний матрицы

называется детерминантом этой матрицы и обозначается так:

Суммирование — по всем шести перестановкам из трех элементов 1, 2, 3. Развернутая запись этого детерминанта есть

Существуют правила, позволяющие сразу написать значение детерминанта третьего порядка. Одно из простейших — следующее: Положительны молнии

(кратчайшие звенья соответствующих им ломаных параллельны главной диагонали матрицы, т. е. диагонали, связывающей левый верхний и правый нижний угол матрицы).

Отрицательны молнии

(кратчайшие звенья соответствующих им ломаных параллельны побочной диагонали матрицы, т. е. диагонали, связывающей правый верхний и левый инжиий угол).

Перечислим основные свойства детерминантов в применении к детерминантам третьего порядка. Предварительно введем следующее.

Определение. Транспонировать матрицу — значит сделать ее строки столбцами, и наоборот, сохраняя порядок тех и других. Таким образом, матрица, транспонированная к матрице

есть матрица

1° При транспонировании матрицы ее детерминант не меняется.

В справедливости этого свойства легко убеждаемся непосредственно из формулы (5), а также замечая, что при транспонировании матрицы три ломаные, образующие группу, обозначенную знаком (+), а также три ломаные, образующие группу, обозначенную знаком (—), переходят в ломаные той же группы.

Очевидно:

2° При умножении всех элементов какой-либо строки (столбца) матрицы на какое-нибудь число К на то же число умножается и детерминант этой матрицы.

Строки (столбцы) матрицы естественно рассматривать как векторы

(и аналогично векторы-столбцы ). Поэтому и детерминант можно рассматривать как функцию векторов-строк (соответственно векторов-столбцов) матрицы А:

3° Если при каком-нибудь i, например, если

то

Для доказательства достаточно подставить в формулу (5) значения

и сделать вытекающие из этой подстановки совсем простые вычисления.

Очевидно:

4° Если в матрице какая-нибудь строка (какой-нибудь столбец) состоит из нулей, то детерминант матрицы равен нулю.

Если поменять местами две какие-нибудь строки матрицы А, то перестановка в записи (2) произвольной молнии испытает транспозицию и потому изменит свой знак, значит, изменит свой знак (сохраняя абсолютную величину) и сумма зарядов всех молний, т. е. детерминант. То же происходит и при перестановке двух столбцов. Итак:

5° При перестановке двух каких-нибудь строк матрицы (двух столбцов) ее детерминант, сохраняя свою абсолютную величину, меняет знак.

Отсюда вытекает:

6° Если в матрице имеются две одинаковые строки (два одинаковых столбца), то ее детерминант равен нулю.

В самом деле, обозначая наш детерминант через D, видим, что, с одной стороны, при упомянутой перестановке строк в детерминанте ничего не меняется, с другой стороны, детерминант должен изменить свой знак; значит, .

7° Если к элементам некоторой строки (столбца) матрицы А (почленно) прибавить (или из них вычесть) элементы другой строки (столбца), умноженные на какое-нибудь число X, то значение детерминанта не изменяется.

В самом деле, имеем по предыдущему

Повторное применение этого результата дает:

7° Прибавляя к какой-либо строке матрицы (или вычитая из нее) произвольную линейную комбинацию других строк, мы не меняем значения детерминанта этой матрицы.

Отсюда вытекает:

8° Если в матрице одна строка (один столбец) является линейной комбинацией других строк (столбцов), то детерминант матрицы равен нулю.

В самом деле, вычитая из данной строки данную линейную комбинацию других строк, мы (в силу 7°) не меняем значения детерминанта и в то же время превращаем его в детерминант, одна из строк которого состоит из нулей.

Доказанное утверждение может быть сформулировано так:

8° Если строки (столбцы) матрицы линейно зависимы, то ее детерминант равен нулю.