§ 7. Приведение к каноническому виду уравнения поверхности второго порядка

Пусть дана поверхность второго порядка своим уравнением

относительно некоторой прямоугольной системы координат . Как мы видели в § 6, всегда существует по крайней мере одна прямоугольная система координат , оси которой имеют главные направления. В этой системе координат уравнение поверхности (I) имеет вид

Начнем с центрального случая: . В этом случае .

Если перенести начало координат О системы в единственный центр поверхности (1), то уравнение () примет вид

Помня, что большой и малый детерминанты и суть ортогональные инварианты, можем для их вычисления воспользоваться правой частью уравнения что дает (результат, известный нам еще из главы § 5). Итак, окончательный вид уравнения (1) в выбранной нами прямоугольной системе координат есть

Здесь все коэффициенты однозначно (с точностью до общего числового множителя ) определены уравнением (1) поверхности, в какой бы исходной прямоугольном системе координат мы его ни задавали. Если та же поверхность задана в той же исходной системе координат другим уравнением:

то в силу теоремы единственности все коэффициенты многочлена получаются соответствующих коэффициентов многочлена умножением на некоторое число Так как при переходе к новой системе координат многочлены F и G тождественно преобразуются соответственно в многочлены , то и для соответствующих приведенных многочленов F и G сохраняется соотношение так что, в частности, характеристические числа многочлена G (т. е. квадратичной формы его старших членов) получаются из характеристических чисел многочлена F умножением на то же к; то же справедливо и для отношения (при Последнее ясно и непосредственно: так как детерминант Д — четвертого порядка, а - третьего, то при умножении всех коэффициентов многочлена на детерминант умножается на , а детерминант на значит, умножается на . Отсюда следует, в частности, что, умножая, если нужно, обе части уравнения на можно всегда достигнуть того, чтобы (при ) число было отрицательным (или равным нулю). Эта нормировка уравнения центральной поверхности совпадает с той, о которой мы говорили в § 5 главы XIX, так как есть значение многочлена в единственном центре центральной поверхности (1).

Теперь имеется две возможности: Начнем с первой. 1° . Получаем конус второго порядка вещественный, если среди характеристических чисел имеются числа разных знаков.

Умножая, если понадобится, обе части уравнения (1) на можем предположить, что среди его коэффициентов имеется два положительных и один отрицательный. Изменив, если потребуется, наименования осей координат и обозначая положительные коэффициенты через а отрицательный через можем представить при уравнение в виде

(причем здесь и всюду дальше берем с положительными). Это каноническое уравнение вещественного конуса.

Заметим, что равенство означает тогда мы имеем круговой конус или конус вращения, его сечения плоскостями суть окружности; если то уравнение конуса превращается в

— имеем круговой конус, образующие которого наклонены к его оси под углом —

Если все характеристические числа — одного знака, мы можем переписать уравнение (I) при в виде

Это каноническое уравнение мнимого конуса.

2° Пусть теперь это значит, что мы имеем невырожденную центральную поверхность.

Переписываем тогда уравнение (I) в виде

Возможны четыре случая:

а) Все три характеристические числа имеют один и тот же знак, и тогда можем положить

причем всегда считаем положительными. Переписываем уравнение (1) в виде

— получили каноническое уравнение мнимого эллипсоида.

б) Все три характеристических числа имеют однн и тот же знак, и . Тогда полагаем

- получаем каноническое уравнение вещественного эллипсоида

в) Характеристические числа имеют разные знаки, и Предположим, что числа имеют одинаковые знаки, а имеет знак, им противоположный. Полагаем

Получаем уравнение

— каноническое уравнение двуполостного гиперболоида. И наконец,

г) Характеристические числа имеют разные знаки, и Предположим снова, что числа имеют одинаковые знаки, а число знак, им противоположный. Тогда, полагая

придаем уравнению вид

Это каноническое уравнение однополостного гиперболоида.

Итак, каждая центральная поверхность второго порядка есть либо конус (действительный или мнимый), либо эллипсоид (действительный или мнимый), либо гиперболоид (двуполостный или однополостный).

Положительные числа а, b, с в каноническом уравнении центральной поверхности, являющиеся ее полуосями, выражаются череп характеристические числа и детерминанты , т. е. через ортогональные инварианты многочлена , и, значит, не меняются при переходе от прямоугольной координатной системы , в которой задано уравнение рассматриваемой поверхности, к любой другой прямоугольной координатной системе. Но они не зависят также и от того, каким из уравнений, определяющих в первоначальной системе данную поверхность, мы воспользовались. В самом деле, уравнения эти отличаются друг от друга только числовым множителем k. Но при умножении всех коэффициентов многочлена на данное число k на эти же k умножаются и , и все характеристические числа поэтому значит, и а, с остаются неизменными. Итак, полуоси центральной поверхности не зависят ни от выбора прямоугольной системы координат, ни от того уравнения (из числа определяющих данную поверхность), которым в этой системе координат мы нашу поверхность задали, они зависят только от самой поверхности как геометрической фигуры, т. е. как множества точек в пространстве.

Обратно, если дано наименование центральной поверхности и полуоси , то поверхность вполне определена с точностью до ее положения в пространстве. В самом деле, две одноименные поверхности с одними и теми же полуосями имеют одно и то же каноническое уравнение; значит, отличаться они могут лишь тем, что первая них этим уравнением определена в одной прямоугольной координатной системе, а вторая — в другой; но, совмещая первую координатную систему со второй посредством (собственного или несобственного) движения, мы совместим одну из наших поверхностей с другой.

Итак, две центральные поверхности тогда и только тогда изометричны между собою, когда они имеют одно и то же наименование и когда их полуоси (соответствующие членам канонического уравнения данных знаков) соответственно равны между собою.

Заметим, что (как непосредственно следует из определения чисел во всех рассмотренных случаях два характеристических числа равны между собою тогда и только тогда, когда соответствующие две полуоси центральной поверхности равны и Входят в каноническое уравнение поверхности с одним и тем же знаком.

Мы видели (в гл. XVIII), что равенство двух каких-либо полуосей, например эллипсоида означает, что мы имеем эллипсоид вращения (сферу, если . Поэтому признаком эллипсоида вращения является равенство двух характеристических чисел, а признаком сферы — равенство .

Точно так же однонолостный гиперболоид является гиперболоидом вращения, если то же верно и для двуполостного гиперболоида, и для конуса. Итак, равенство двух характеристических чисел необходимо и достаточно для того, чтобы центральная поверхность была поверхностью вращения, а равенство верно для сферы (действительной или мнимой), и только для нее.

Переходим к случаю поверхности (1) ранга Покажем, что в этом случае уравнение (1) определяет: при параболоид,

эллиптический, если

гиперболический, если

а при — «центральный» (т. е. эллиптический или гиперболический) цилиндр, вырождающийся при в пару пересекающихся плоскостей.

Итак, пусть . Тогда среди характеристических чисел многочлена два, положим и отличны от нуля и

В некоторой прямоугольной системе координат (с тем же началом, что и исходная система ) уравнение (1) принимает вид

Имеем

откуда заключаем, что тогда и только тогда, когда .

Рассмотрим сначала случай, когда и, следовательно, Перенос начала координат О в произвольную точку т. е. преобразование

переводит миогочлен в

Определяя из уравненнй

получаем

Итак, в надлежаще выбранной прямоугольной системе координат уравнение всякой поверхности ранга принимает вид

Из (2) получаем

Так как — вещественное число, то имеет всегда знак, противоположный знаку Другими словами, положителен, если характеристические числа и разных знаков (гиперболический случай), и отрицательно, если и одного и того же знака (эллиптический случай). Изменив, если нужно, положительное направление оси z на противоположное, всегда можем предположить, что знак противоположен знаку так что уравнение (II) можно переписать в виде (мы отбрасываем штрихи при координатах)

где — есть положительное число, которое мы обозначим через :

Число - положительно, если знак совпадает со знаком (т. е. в эллиптическом случае, и отрицательно, если разных знаков (т. е. в гиперболическом случае, ).

Поэтому, полагая в обоих случаях

имеем:

Соответственно получаем: в эллиптическом случае уравнение

эллиптического, а в гиперболическом случае уравнение

гиперболического параболоида. Параметры параболоида выражаются через ортогональные инварианты и поэтому не зависят от той прямоугольной системы координат, в которой было задано первоначальное уравнение (I) параболоида. Они не меняются при умножении многочлена на числовой множитель k (так как при этом умножается на , а на k), поэтому они зависят лишь от самой поверхности (рассматриваемой как множество ее точек) и в свою очередь определяют ее однозначно (с точностью до ее положения в пространстве).

Равенство означает, что мы имеем эллиптический параболоид с равными параметрами т. е. параболоид вращения.

Пусть теперь значит, и . Тогда большой ранг . Уравнение (1) в этом случае приобретает вид

Применим к этому уравнению преобразование параллельного переноса

Тогда будем иметь

где

Определяя из уравнений

приведем уравнение (4) к виду

причем если и , если . Уравнение (1) задает (в системе координат ) цилиндр над лежащей в плоскости центральной кривой второго порядка, имеющей (в прямоугольной системе координат ) тоже уравнение (III). эта кривая нераспадающаяся, при она распадается на пару прямых, а цилиндр (III) вырождается в пару пересекающихся плоскостей. Любая плоскость пересекает цилиндрическую поверхность (III) по кривой, имеющей то же уравнение (III) в плоскости (в системе координат с началом и теми же направлениями осей что и в координатной системе .

Все эти кривые конгруэнтны между собою; достаточно знать одну из них, чтобы цилиндрическая поверхность (III) была определена. Пусть . Тогда полуоси а, b кривой (III) (называемые также полуосями цилиндрической поверхности (III)), вместе с ее наименованием, полностью определяют поверхность (III) с точностью до ее положения в пространстве и в свою очередь всецело определяются ею. Чтобы определить полуоси а, b по нервоначальному уравнению (I), надо только определить .

Для определения числа а надо найти какую-нибудь точку прямой центров системы определяющих ее уравнений в исходной системе координат) и подставить координаты этой точки в левую часть первоначального уравнения поверхности. Полученный результат не зависит от выбора точки на прямой центров.

Переписывая уравнение кривой (III) в каноническом виде, мы получаем и каноническое уравнение

эллиптического, соответственно гиперболического, цилиндра, а также (если кривая (III) есть мнимый эллипс) уравнение мнимого эллиптического цилиндра в прямоугольной системе координат . Снова равенство является признаком того, что наша цилиндрическая поверхность есть поверхность вращения, т. е. так называемый круглый цилиндр; его сечения плоскостями, перпендикулярными к образующим, суть окружности.

Пусть теперь тогда и уравнение превращается в уравнение

задающее (в прямоугольной системе координат ) пару пересекающихся плоскостей (вещественных, если и разных знаков; мнимых, если и одного знака). При этом отношение характеризующее двугранный угол между плоскостями, полностью определяется этой парой плоскостей и в свою очередь полностью ее определяет.

Переходим к поверхностям ранга . Для этих поверхностей лишь одно характеристическое число, пусть отлично от нуля и .

Если ось прямоугольной системы координат направить по единственному главному направлению, соответствующему отличному от нуля корню характеристического уравнения, а оси взять под прямым углом в плоскости, перпендикулярной к уже выбранной оси (а в остальном — произвольно), то во всякой такой системе координат уравнение нашей поверхности будет иметь вид

Для поверхности ранга всегда .

Пусть тогда по крайней мере один из коэффициентов отличен от нуля (иначе в матрице коэффициентов многочлена все детерминанты третьего порядка будут равны нулю).

Пусть, например, . Покажем, что в рассматриваемом случае поверхность (5) будет параболическим цилиндром. Наша задача сейчас — найти такую прямоугольную систему координат, в которой уравнение (5) примет канонический вид

Для этого произведем поворот координатной системы вокруг оси у на некоторый, пока произвольный, угол , т. е. сделаем ортогональное преобразование координат

что тождественно преобразует левую часть уравнения (5) в

Приравниваем коэффициент при z" нулю, что дает тригонометрическое уравнение

из которого и определяем а:

В полученной прямоугольной системе координат уравнение (5) приобретает вид

где положено

При этом (иначе матрица коэффициентов уравнения (6) имела бы ранг вопреки предположению, что ).

Уравнение (6) есть уравнение цилиндра над параболой, лежащей в плоскости и имеющей (в системе координат ) то же уравнение (6). Остается только произвести сдвиг начала координат (в той же плоскости ). Мы получим после этого сдвига прямоугольную систему координат, в которой уравнение (6) параболы, а следовательно, и построенного над нею цилиндра примет канонический вид (IV). Поставленная задача решена.

Число р, являющееся параметром параболы, получающейся при сеченни параболического цилиндра плоскостью, перпендикулярной к его образующим, называется параметром параболического цилиндра. Это число определено самим цилиндром и в свою очередь определяет его с точностью до его положения в пространстве. Можно было бы указать формулы, позволяющие вычислить параметр параболического цилиндра непосредственно по коэффициентам его уравнения в произвольной прямоугольной системе координат. Мы, однако, этого делать не будем, отсылая читателя к более подробному курсу Б. Н. Делоне и Д. А. Райкова.

Пусть теперь . Тогда поверхность является парой параллельных (в широком смысле) плоскостей канонической системой координат будет произвольная прямоугольная система координат, одна из осей которой (положим, ось у) перпендикулярна к плоскостям а две другие оси расположены в средней плоскости между этими плоскостями. Тогда уравнение пары плоскостей будет

К этому результату можно прийти и из рассмотрения уравнения (5), в котором теперь непременно (если хотя бы один из коэффициентов был то мы имели бы параболический цилиндр и, значит,

Итак, уравнение (5) имеет в нашем случае вид

Посредством сдвига начала координат по оси ординат преобразуем его в

что эквивалентно каноническому уравнению (7).

Общим итогом этого параграфа является

Теорема 3. Каждая поверхность, определяемая уравнением второй степени с вещественными коэффициентами, принадлежит к одному из следующих семнадцати классов:

1. Эллипсоиды вещественные.

2. Эллипсоиды мнимые.

3. Гиперболоиды однополостные.

4. Гиперболоиды двуполостные.

5. Конусы вещественные.

6. Конусы мнимые.

7. Параболоиды эллиптические.

8. Параболоиды гиперболические.

9. Цилиндры эллиптические вещественные.

10. Цилиндры эллиптические мнимые.

П. Цилиндры гиперболические.

12. Цилиндры параболические.

13. Поверхности, распадающиеся на пару пересекающихся вещественных плоскостей.

14. Поверхности, распадающиеся на пару пересекающихся мнимых сопряженных плоскостей.

15. Поверхности, распадающиеся на пару (различных) параллельных вещественных плоскостей.

16. Поверхности, распадающиеся на пару (различных) параллельных мнимых сопряженных плоскостей.

17. Поверхности, распадающиеся на пару совпадающих вещественных плоскостей.