§ 2. Теорема единственности для кривых второго порядка. Пучок кривых второго порядка

1. Теорема единственности. Теперь мы прервем последовательность нашего изложения, чтобы доказать для кривых второго порядка так называемую «теорему единственности», сформулированную еще в § 1 главы XV, и этим навести в наших рассуждениях об этих кривых должный порядок. Но сначала докажем следующее предложение.

Теорема 4. Пусть на плоскости даны пять точек:

из которых никакие четыре не лежат на одной прямой. Тогда однозначно, с точностью до числового множителя, определены коэффициенты в уравнении

кривой второго порядка, проходящей через эти точки, откуда следует, что кривая эта существует и единственна.

При этом, если данные пять точек действительны, то и проходящая через них единственная кривая второго порядка действительна.

Доказательство. Напишем условие того, что каждая из точек лежит на кривой, заданной уравнением (1) с пока еще неизвестными коэффициентами . Получаем систему пяти уравнений:

относительно неизвестных А, В, С, D, Е, H. Это — система пяти линейных однородных уравнений с шестью неизвестными. При этом, если точки действительны, то и коэффициенты и т. д. в уравнениях (2) действительны. Если система (2) — независима, то, в силу замечания в главе XII, § 8, неизвестные А, В, С, D, Е, H определены однозначно с точностью до числового множителя, и теорема доказана.

Предположим, что система (2) зависима. Тогда одно из уравнений, пусть пятое, есть линейная комбинация остальных четырех. Следовательно, всякая шестерка чисел А, В, С, D, Е, H, удовлетворяющая первым четырем уравнениям (2), удовлетворяет и пятому уравнению (2), а это значит, что всякая кривая (1), проходящая через четыре точки проходит и через пятую точку Покажем сначала, что в этом случае три точки из числа четырех лежат на одной прямой. В самом деле, в противном случае мы могли бы провести через точки две пары прямых, т. е. две распадающиеся кривые второго порядка:

Обе эти распадающиеся кривые проходят через четыре точки и не имеют других общих точек (рис. 169); между тем у них должна была бы быть еще и пятая общая точка, а именно точка Противоречие! Итак, утверждение доказано: из четырех точек три, пусть лежат на одной прямой .

Докажем, что на той же прямой d лежит и четвертая точка или Пусть ни ни не лежат на прямой d (рис. 170).

Рис. 169.

Рис. 170.

Проведем через точку произвольную прямую d, не проходящую через точку Имеем снова кривую второго порядка, а именно пару прямых d и d, проходящую через точки но не проходящую через — опять получили противоречие.

Итак, мы доказали: если уравнения (2) зависимы, то из точек четыре лежат на одной прямой. Теорема 4 доказана.

Теорема 5 (теорема единственности). Если два уравнения второй степени

и

удовлетворяются одним и тем же множеством точек С комплексной плоскости, то одно из этих уравнений получается из другого почленным умножением на некоторой числовой множитель.

Добавление к теореме 5. Если известно лишь, что множество действительных точек плоскости, удовлетворяющих уравнениям, (1) и (1), одно и то же и состоит более чем из одной точки, то Утверждение теоремы 5 остается в силе (каждое из уравнений (1), (1) получается из другого умножением на числовой множитель).

Докажем сначала частный случай этой теоремы, а именно случай, когда множество всех точек, удовлетворяющих уравнению (1), есть некоторая прямая d (т. е. когда линия, определяемая этим уравнением, есть пара совпадающих, непременно действительных, прямых).

Перейдя к системе координат, осью ордииат которой является прямая d, можем предположить, что ее уравнение есть Достаточно доказать, что в этом случае

Уравнение (1), по предположению, удовлетворяется точками при любом у, и только этими точками. Поэтому, подставив в (1) значение получим тождество относительно у:

Это значит, что и уравнение (1) имеет вид

Оно удовлетворяется, кроме точек оси ординат, еще и всеми точками прямой

Но уравнение (10) должно удовлетворяться только точками оси ординат, поэтому прямая d совпадает с прямой что имеет место лишь при

Тождество а вместе с тем и разбираемый частный случай теоремы 5 доказаны.

Пусть теперь кривая, определяемая уравнением (1), не есть пара совпадающих прямых. Тогда на ней можно найти пять точек из которых никакие четыре не лежат на одной прямой. Это очевидно, если кривая (1) нераспадающаяся: тогда иикакие три ее точки не лежат на одной прямой, и, следовательно, в качестве точек можно взять любые пять точек, удовлетворяющих уравнению (1). Если же кривая (1) распадается на пару различных прямых d и d, то достаточно взять три точки на одной из этих прямых, а две другие — на другой. Точки (из которых никакие четыре не лежат на одной прямой) лежат и на кривой (1), и на кривой (); поэтому, в силу теоремы 4, левые части уравнений могут отличаться лишь постоянным множителем. Теорема 5 доказана.

Если (1) не есть мнимый эллипс или пара мнимых (сопряженных) прямых, т. е. если она содержит более одной действительной точки, то множество ее действительных точек бесконечно, и поэтому точки в предыдущем рассуждении могут быть предположены действительными. Этим доказано и добавление к теореме Г).

2. Пучок кривых второго порядка. Пусть — четыре точки, не лежащие на одной прямой. Задавая по произволу еще одну точку (не коллинеарную никаким трем из точек ), получим, по теореме 4, единственную кривую второго порядка, проходящую через точки и точку .

Поэтому множество всех кривых второго порядка, проходящих через четыре точки бесконечно. Это множество кривых называется пучком кривых второго порядка, определяемым точками

Будем обозначать кривую той же буквой F, которой обозначена левая часть ее уравнения (1), так что F и при любом — это одна и та же кривая. Если

то будем говорить, что кривая F есть линейная комбинация (с коэффициентами ) кривых Аналогичной терминологией мы уже пользовались в § 5 главы V в рассуждениях о пучке прямых. Если кривые принадлежат пучку, определяемому точками , то уравнения удовлетворяются, еслн в них подставить значення при любых . Но тогда и уравнение будет при удовлетворяться. Другими словами, всякая кривая, являющаяся линейной комбинацией двух (или более) кривых, принадлежащих данному пучку, принадлежит этому пучку. Докажем обратное предложение. Пусть в пучке кривых второго порядка выбраны две определенные кривые Тогда всякая кривая F данного пучка есть линейная комбинация этих двух кривых

Пусть пучок определен четверкой точек Возьмем на кривой F какую-нибудь точку не коллинеарную ни с какими тремя из точек Кривая F есть единственная кривая второго порядка, проходящая через точки Поэтому для доказательства сделанного утверждения достаточно найти такую линейную комбинацию чтобы кривая

проходила через точку т. е. достаточно определить

вернее, их отношение из условия

Итак, любой пучок кривых второго порядка вполне определен, если даны две какие-нибудь кривые из этого пучка-, он состоит из всех кривых, являющихся линейными комбинациями двух данных. Все эти кривые определяются значениями одного параметра — отношением двух коэффициентов в линейной комбинации .

Другими словами, пучок кривых второго порядка является одномерным многообразием кривых — совершенно в том же смысле, в каком пучок прямых (гл. V, § 5) является одномерным многообразием прямых (а пучок плоскостей — одномерным многообразием плоскостей).

Рис. 171.

Понятие пучка кривых позволяет очень просто найти уравнение кривой второго порядка, проходящей через заданные пять точек (в предположении, что среди них нет четырех точек, лежащих на одной прямой). В самом деле, возьмем четыре точки из числа данных пяти, например Легко написать уравнения прямых:

Теперь имеем две распадающиеся кривые второго порядка: кривую распадающуюся на пару прямых и кривую распадающуюся на прямые (рис. 171). Многочлены суть произведения трехчленов первой степени, являющихся левыми частями уравнений, соответствующих прямым и . Распадающиеся линии и очевидно, проходят через точки т. е. принадлежат пучку, определяемому этими точками. Остается только определить отношение из условия, чтобы кривая проходила через точку этим условием является равенство (4), из которого находим