§ 3. Пучок кривых второго порядка. Второе доказательство теоремы единственности. Теорема Паскаля. Теорема Штейнера

Вместо того, чтобы сводить доказательств теоремы единственности для кривых второго порядка на проективной плоскости к доказательству аналогичной теоремы для аффинной плоскости, можно было бы дать прямое доказательство, почти дословно переписывая § 2 главы XVII, с единственным изменением, заключающимся в том, что аффинные координаты у заменяются однородными координатами а общий многочлен второй степени от двух переменных заменяется квадратичной формой с!) от трех переменных. В частности, дословно с точностью до указанных изменений сохраняется доказательство теоремы 4 главы XVII, которая теперь приобретает такой вид:

Теорема 5. Пусть на проективной плоскости дани пять точек:

никакие четыре из которых не лежат на одной прямой. Тогда однозначно, с точностью до общего числового множителя, определены коэффициенты в уравнении

кривой второго порядка, проходящей через эти пять точек, откуда следует, что эта кривая существует и единственна. При этом, если данные пять точек действительны, то действительна и проходящая через них кривая.

Без всяких изменений, кроме указанных выше, переносятся на случай проективной плоскости и рассуждения § 2 главы XVII о пучке кривых второго порядка.

Одно замечание! Если среди данных пяти точек одна или две несобственные, то задать их — все равно что задать одно или два асимптотических направления кривой. Итак, нераснадающаяся кривая второго порядка однозначно определена, если известны четыре собственные ее точки и одно асимптотическое направление или три собственные точки и два асимптотических направления.

Из теоремы 5 вытекает и следующее предложение, известное из начального курса геометрии, — теорема об окружности, описанной вокруг данного треугольника:

Через всякие три собственные точки плоскости, не лежащие на одной прямой, проходит одна и только одна окружность.

В самом деле, если к данным трем точкам присоединить еще две круговые точки, то получатся пять точек, через которые проходит единственная кривая второго порядка; а так как кривая эта проходит через круговые точки, то она непременно есть окружность.

Раз пять точек однозначно определяют проходящую через них кривую второго порядка, то ясно, что такую кривую нельзя провести через любые шесть точек. И в самом деле, мы сейчас докажем теорему, выражающую необходимое условие для того, чтобы данные шесть точек лежали на некоторой кривой второго порядка. Теорема эта есть знаменитая теорема Паскаля:

Теорема 6. Пусть на невырождающейся кривой второго порядка даны шесть точек: (рис. 245). Эти шесть точек и порядок, в котором они записаны, определяют шесть прямых:

Тогда три точки

пересечения прямых

лежат на одной прямой.

Замечание 1. Совокупность шести точек записанных в определенном порядке, и шести прямых

называется в проективной геометрии шестиугольником

Точки называются вершинами, а прямые — сторонами шестиугольника при этом стороны

называются противоположными.

Если все шесть вершин шестиугольника лежат на данной кривой, то шестиугольник называется

Рис. 245.

вписанным в эту кривую. Имея в виду это словоупотребление, можно теорему Паскаля сформулировать так:

Точки пересечения противоположных сторон всякого шестиугольника, вписанного в какую-нибудь кривую второго порядка у, лежат на одной прямой. Эта прямая называется паскалевой прямой данного шестиугольника.

Замечание 2. Существенно заметить, что, переставив в каком-нибудь новом порядке данные шесть вершин, мы получим, вообще говоря, новый шестиугольник; например, шестиугольники различны: сторонами первого являются прямые и т. д., а сторонами второго — прямые и т. д.

Таким образом, во втором шестиугольнике имеется сторона , которой нет в первом, и зато нет стороны .

Два шестиугольника тождественны, если у них одни и те же вершины и одии и те же стороны. Поэтому циклическая перестановка вершин является допустимой; шестиугольники тождественны между собой.

Кроме того, если в данном шестиугольнике изменить порядок всех вершин на противоположный; то получится шестиугольник, тождественный с данным.

Доказательство теоремы Паскаля. Как мы уже делали неоднократно, будем и теперь обозначать одной и той же буквой какую-нибудь прямую d, левую часть ее уравнения и тройку ее координат, помня все время, что d и при любом есть одна и та же прямая. Обозначим через проходящую через точки . Кривая второго порядка, распадающаяся на пару прямых имеет уравнение

и принадлежит пучку кривых второго порядка, проходящих через точки (так как точки лежат на прямой а точки ). Тому же пучку кривых второго порядка принадлежит и пара прямых т. е. кривая второго порядка, имеющая уравнение

Исходная кривая также принадлежит этому пучку, поэтому уравнение может быть записано в виде

(3)

Кривая , по предположению, нераспадающаяся; поэтому оба коэффициента и отличны от нуля, так что, разделив обе части уравнения на один из них, можем переписать уравнение (3) в виде

Но кривая принадлежит и пучку кривых, проходящих через точки .

Этому же пучку принадлежат и распадающиеся кривые

Значит, кривая является линейной комбинацией и двух последних распадающихся кривых; уравнение кривой может быть записано в виде

Так как уравнения (4) и (5) выражают одну и ту же линию второго порядка, то но теореме единственности одно из этих уравнений получается из другого умножением на некоторый числовой множитель

Заменив многочлены через и обозначив их после этой замены снова через можем считать множитель k в правой части тождества (6) равным 1 и переписать это тождество в виде

или в виде

Прямая p, заданная уравнением

принадлежит пучку прямых, задаваемому двумя прямыми и проходит, следовательно, через точку пересечения этих двух прямых.

Ввиду тождества (8) уравнение

есть уравнение той же пары прямых, что и уравнение

На этой паре прямых лежат точки . Итак, эти четыре точки лежат на паре прямых, которая может быть задана уравнением (9).

Точки лежат на прямой но ни одна из точек и на этой прямой не лежит.

В самом деле, если бы точка пересечения прямых лежала на то прямая имела бы с прямой общие точки а с прямой — общие точки Точка отлична по крайней мере от одной из двух точек пусть, например, . Тогда прямые имея две общие точки и совпадали бы между собою, и точки лежали бы на одной прямой — вопреки предположению.

По аналогичной причине точка не лежит на прямой Итак, ни одна из точек не лежит на прямой в то же время каждая из этих точек лежит на кривой, распадающейся на пару прямых значит, обе точки лежат на прямой p, которой по самому ее определению инцидентна и точка

Следовательно, все три лежат на прямой p, и теорема Паскаля доказана.

Рис. 246.

Если кривая у распадающаяся, то от вписанного в нее шестиугольника естественно требовать, чтобы никакая его сторона не совпадала ни с одной из двух прямых, на которые распадается кривая . В соответствии с этим требованием теорема Паскаля для распадающейся кривой получает следующую формулировку:

Теорема 6. Пусть даны две прямые d и d и на них шесть точек:

из которых точки А, В, С лежат на прямой — на прямой d (рис. 246). Кроме того, предполагается, что ни, одна из этих точек не совпадает с точкой пересечения прямых

Обозначим прямые ВС и ВС, СА и СА, АВ и АВ соответственно через . Тогда точки лежат на одной прямой — «паскалевой» прямой шестиугольника.

Дадим краткое доказательство этой теоремы

Точку пересечения прямых АВ и СА обозначим через G, а точку пересечения прямых АС и СВ через H.

Требуется доказать, что точка P совпадает с точкой пересечения прямых СВ и RQ, для чего в свою очередь достаточно доказать равенство двойных отношений

Имеем следующие тройки коллинеарных точек:

так что четверки точек

находятся между собою в перспективном соответствии с центром перспективы Q, откуда следует, что

Аналогично убеждаемся в том, что четверки точек

перспективны между собою (при центре перспективы А) так что

Наконец,

находятся в перспективном соответствии при центре перспективы С, так что

и, значнт,

что и требовалось доказать.

Только что доказанная теорема 6 была известна еще греческому геометру Паппу Александрийскому, жившему во второй половине Ш века н. э. Поэтому ее следует называть теоремой Паппа, как это обычно и делается. Можно ей дать и другое доказательство, не пользующееся двойным отношением и похожее на приведенное в предыдущей главе доказательство теоремы Дезарга (но более сложное); заинтересовавшийся читатель может попытаться провести такое доказательство.

В заключение этого параграфа докажем следующую очень известную теорему, установленную швейцарским геометром Я. Штейнером (Jakob Steiner, 1796—1863).

Теорема 7 (об образовании кривых второго порядка посредством проективного отображения одного пучка прямых на другой). Пусть на плоскости даны два пучка прямых с центрами О и О и проективное отображение одного пучка на другой, ставящее в соответствие каждому лучу пучка О луч пучка .

Если отображение не является перспективным, то точки пересечения

лучей, соответствующих друз другу, при этом отображении лежат на некоторой кривой второго порядка, проходящей через точки О и . Обратно, если на какой-нибудь кривой второго порядка у взяты точки О и и каждому лучу m пучка О ставится в соответствие луч пучка О, идущий в точку пересечения М луча с кривой , то полученное отображение есть проективное отображение пучка О на пучок (очевидно, не являющееся перспективным).

Предположим, что на плоскости дана система однородных координат левые части уравнений всех рассматриваемых далее прямых и кривых второго порядка суть многочлены первой, соответственно второй, степени относительно переменных .

Докажем сначала второе утверждение теоремы 7. Возьмем какие-нибудь два луча пучка О и соответствующие им лучи пучка О (рис. 247). Точки О и лежат на данной кривой второго порядка. Пара прямых есть распадающаяся кривая второго порядка, уравнение которой может быть записано в виде

(10)

Точно так же пара прямых есть распадающаяся кривая второго порядка, уравнение которой может быть записано в виде

Кривая у проходит через четыре точки и каждая из которых принадлежит обеим кривым (10) и (11); поэтому кривая у принадлежит пучку кривых, определенному кривыми (10) и (11).

Рис. 247.

Следовательно, уравнение кривой можно записать в виде

или (помня о возможности заменить через через в виде

т. е. в виде

Возьмем теперь в каждом из пучков по проективной системе координат, имеющей лучи соответственно своими фундаментальными лучами. Каждая прямая пучка О имеет уравнение вида

а каждая прямая пучка О — уравнение вида

причем соответственно А и суть координаты лучей в соответствующих координатных системах . Если прямые соответствуют друг другу в рассматриваемом отображении, то их точка пересечения М принадлежит кривой , значит, координаты этой точки удовлетворяют уравнению (12). Но эти координаты удовлетворяют и уравнениям (13) и (13).

Подставляя координаты точки М в эти уравнения, получаем равенства

правые которых суть определенные числа, равные между собою в силу (12), так что Итак, при нашем отображении пучка О на пучок лучу, имеющему в выбранной в этом пучке координатной системе координаты соответствует в другом пучке луч, имеющий в соответствующей координатной системе координаты Проективность отображения этим доказана.

Доказываем первое утверждение теоремы Штейнера.

Пусть между пучками установлено проективное соответствие. Тогда при надлежаще выбранных в каждом пучке проективных координатных системах соответствующие друг другу лучи обоих пучков имеют пропорциональные пары координат: и, следовательно, выражаются через координатные лучи соответственно одинаковым образом:

Координаты точки пересечения М лучей удовлетворяют обоим уравнениям и , т. е.

Определяя из второго из этих уравнений подставляя результат в первое уравнение (14), получаем

т. е. уравнение

степени не выше второй (относительно ). Пусть уравнение (15) — первой степени, тогда оно является уравнением прямой , которая оказалась бы осью перспективы для проективного отображения — вопреки нашим предположениям.

Итак, уравнение (15) — второй степени и определяет кривую второго порядка, проходящую через точки . Теорема Штейнера доказана.