§ 3. Движения трехмерного евклидова пространства

В случае получаем следующие возможности для матрицы ортогонального преобразования («нормальные формы ортогональных матриц третьего порядка»):

1° — тождественное преобразование

2° — несобственное преобразование

т. е. отражение относительно плоскости .

1°. — собственное преобразование

т. е. поворот на угол вокруг оси (отражение относительно этой оси).

1°. - собственное преобразование

т. е. поворот вокруг оси на угол ; преобразования 1° и 1° являются частными случаями преобразования 1, получающимися соответственно при .

2°. — несобственное преобразование

т. e. поворот вокруг оси на угол , соединенный с отражением относительно плоскости . В частности, при получаем чистое отражение :

относительно плоскости при — преобразование

т. е. отражение относительно точки О.

Замечание. Для многообразия инвариантных векторов получаем следующие возможности. Оно в случае

1° трехмерно,

1° (при любом ) одномерно,

2° двумерно,

2° (при любом ) нульмерно.

Итак, при всех собственных ортогональных преобразованиях трехмерного пространства многообразие инвариантных векторов имеет нечетную размерность 1 или 3, а при, несобственных — четную размерность 2 или 0.

Естественно, что это замечание сохраняет свою силу для всех движений трехмерного пространства (так как любое движение порождает ортогональное преобразование многообразия всех векторов пространства).

Переходим к классификации движений трехмерного пространства. Всякое движение трехмерного пространства в произвольной прямоугольной системе координат записывается в виде

где матрица А коэффициентов ортогональна. Имея в виду только что полученные нормальные формы ортогональных матриц третьего порядка, мы можем всякое движение в некоторой прямоугольной координатной системе записать в одном из следующих видов:

Случай 1°.

Перенесем начало, координат в точку где определяются из уравнений

т. е.

Детерминант системы (3) есть он равен нулю, лишь когда одновременно в этом случае формулы (1) превращаются в

и определяют сдвиг пространства на вектор . Во всех остальных случаях из уравнений (2) значения определяются однозначно, так что определено и преобразование координат

означающее перенос начала координат в точку с сохранением единичных векторов исходной прямоугольной координатной системы. В новой системе координат движение (1) запишется в виде

т. e., ввиду тождеств (2), в виде

(4)

Это — поворот вокруг оси на угол , соединенный со сдвигом вдоль этой же оси на вектор . При получаем чистый сдвиг

при получаем чистый поворот

Сдвиг вдоль прямой, соединенный с вращением вокруг этой же прямой, называется в механике винтовым движением.

Итак, в случае 1° получаем винтовое движение.

Случай 2°.

Перейдем к новой прямоугольной координатной системе, оставив единичные векторы прежними и перенося начало координат в точку Другими словами, сделаем преобразование координат

В новой системе координат движение (5) запишется в виде

т. е. в виде

Оно представляет собою отражение относительно плоскости соединенное со сдвигом вдоль этой плоскости на вектор .

Случай 3°.

Перейдем опять к новой прямоугольной координатной системе с теми же единичными векторами и с началом где определяются из уравнений (2), т. е. сделаем преобразование координат

В новой системе координат движение (6) получит запись

из которой видно, что оно представляет собою отражение относительно плоскости соединенное с поворотом вокруг оси на угол . Итак, доказана следующая

Теорема 6. Имеются лишь следующие движения трехмерного пространства:

1. Собственные движения:

I. Винтовое движение, т. е. сдвиг вдоль некоторой прямой d, соединенный с поворотом вокруг этой же прямой; это движение включает как частные случаи чистый сдвиг вдоль прямой d и чистый поворот вокруг прямой d (в частности, и поворот на угол , т. е. отражение относительно прямой ).

II. Несобственные движения:

2. Отражение относительно некоторой плоскости , соединенное со сдвигом на вектор компланарный этой плоскости; в частности, при чистое отражение относительно плоскости .

3. Отражение относительно некоторой плоскости соединенное с поворотом вокруг прямой d, перпендикулярной к плоскости , на некоторый угол , в частности, при отражение относительно некоторой точки (точки пересечения плоскости и прямой ).

Выше (замечание на стр. 738) уже было выяснено, какое у каждого из этих движений имеется многообразие инвариантных векторов; читателю предоставляется самому определить множество неподвижных точек движений каждого перечисленных типов.