§ 2. Однородные координаты точек на плоскости и лучел в связке

1. Определение однородных координат. Определение 1. Предположим, что на плоскости дана система аффинных координат (начало ее обозначаем строчной буквой о). Пусть М — произвольная точка плоскости, х и у — ее координаты в системе . Тогда всякая тройка чисел

пропорциональная тройке

называется тройкой однородных координат точки М (определенных данной аффинной координатной системой ).

Решим две простые задачи:

а) по аффинным координатам точки М найти все тройки однородных координат этой точки;

б) по одной какой-нибудь тройке однородных координат данной точки найти ее аффинные координаты.

Первая задача решена самим определением однородных координат: тройки однородных координат данной точки суть все тройки пропорциональные тройке х, у, 1.

Вторая задача состоит в том, чтобы но данной тройке однородных координат точки М найти ту тройку х, у, 1, которой тройка пропорциональна. Значит, надо решить пропорцию

откуда или

Каждая точка плоскости получила бесконечное множество троек однородных координат.

Какими свойствами обладает это множество троек?

Во-первых, в нем не содержится «запрещенная тройка», состоящая из трех нулей, так как эта тройка не может быть тройкой, пропорциональной тройке вида х, у, 1, ни при каких х и у.

Во-вторых, любые две тройки, являющиеся элементами этого множества, пропорциональны между собою.

В-третьих, всякая тройка, пропорциональная какой-либо тройке, входящей в наше множество, сама входит в это множество.

Другими словами: множество всех троек однородных координат какой-либо точки плоскости есть один из классов, на которые распадается множество всех вообще незапрещенных числовых троек, если считать эквивалентными всякие две пропорциональные между собою тройки.

Кратко: множество всех троек однородных координат какой-либо точки плоскости есть класс пропорциональных троек.

Возникает обратный вопрос: всякий ли класс пропорциональных троек есть множество троек однородных координат какой-либо точки плоскости?

Пусть дан какой-нибудь класс троек К, и пусть — какая-нибудь тройка, входящая в этот класс. Возможны два случая:

либо , тогда мы эту тройку назовем обыкновенной;

либо тогда мы назовем тройку особой.

При этом, если в класс входит хотя бы одна обыкновенная тройка, то все тройки этого класса обыкновенные; если в класс входит хотя бы одна особая тройка, то все тройки этого класса особые.

Если класс К состоит из обыкновенных троек, то, взяв какую-нибудь одну из них, мы можем найти точку по формулам это и будет точка, для которой является одной из троек однородных координат, а потому и весь данные класс К будет классом троек однородных координат точки М.

Если же данный класс состоит из особых троек, то в нем нет тройки вида х, у, 1, следовательно, такой класс не является классом соответствующим какой-либо точке плоскости.

Итак, точки плоскости находятся во взаимно однозначном соответствии с классами обыкновенных числовых троек.

Посмотрим, каков геометрический смысл этого соответствия что можно сказать об особых классах, т. е. о классах, состоящих из особых троек.

Для этого вернемся снова к связке с каким-нибудь центром О. Возьмем произвольную аффинную координатную систему в пространстве с началом в точке О. Координаты какого-нибудь вектора относительно этой координатной системы будем обозначать через (а не через ).

Определение 2. Пусть дан произвольный луч связки. Тройку координат любого направляющего вектора этого луча назовем тройкой однородных координат этого луча (в дайной аффинной координатной системе ).

Так как существует бесконечное множество направляющих векторов данного луча, то каждый луч связки получает бесконечное множество троек однородных координат. Среди этих троек нет запрещенной тройки , так как она не может служить тройкой координат никакого направляющего вектора. Все эти тройки пропорциональны между собою; наконец, если дан какой-нибудь направляющий вектор данного луча и если тройка пропорциональна тройке то вектор также будет направляющим вектором того же луча. Итак, множество всех троек однородных координат произвольного луча связки есть класс пропорциональных троек.

Нетрудно видеть, что любой класс числовых троек является классом троек однородных координат некоторого луча связки. В самом деле, пусть дан произвольный класс и в нем произвольная тройка Так как эта тройка не состоит из одних нулей, то она является тройкой координат некоторого вектора , отличного от нуля. Этот вектор есть направляющий вектор вполне определенного луча связки, и, значит, тройка и все пропорциональные ей тройки являются тройками однородных координат именно этого луча.

Каким же лучам связки соответствуют, в качестве троек их координат, особые тройки вида Очевидно, тем и только тем лучам, которые лежат в плоскости .

Это положение вещей позволяет понять геометрический смысл введения однородных координат на плоскости.

Пусть, в самом деле, дана плоскость я с системой аффинных координат оехег на ней. Возьмем аффннную систему в пространстве с началом с теми же двумя векторами что и в системе на плоскости , и с третьим вектором (рис. 228).

Рис. 228.

Всякую такую координатную систему в пространстве называем системой, естественно связанной с системой (в плоскости ). В системе координат Оевз плоскость , очевидно, имеет уравнение

Замечание 1. Мы снова обозначаем координаты в системе через . С другой стороны, в плоскости относительно системы координат координаты точек (и векторов) будут обозначаться через х, у, так что координатами любой точки плоскости являются в системе

Эти координаты суть, очевидно, и координаты вектора -

ОМ; тройка есть, следовательно, одна из троек однородных координат луча ОМ, идущего из центра связки О в точку М плоскости .

Итак, тройки однородных координат какой-либо точки М плоскости суть не что иное, как тройки однородных координат перспективного к этой точке луча связки (в предположении, что аффинная координатная система естественно связана с системой ).

Так как классы особых троек суть классы однородных координат лучей связки, параллельных плоскости , и именно этим лучам и должны соответствовать несобственные точки плоскости , то естественно считать особые тройки тройками однородных координат несобственных точек плоскости.

Возвращаясь к началу этого параграфа, можем сказать:

Если в плоскости дана аффинная система координат то для каждой точки плоскости определены ее однородные координаты относительно системы причем для собственных точек плоскости аффинные и однородные координаты связаны между собою формулами (1). Пополнение плоскости несобственными точками стоит в том, что каждому классу особых троек вида ставится в соответствие несобственная точка плоскости.

В результате этого пополнения множество всех без исключения классов числовых троек оказывается поставленным во взаимно однозначное соответствие с множеством всех точек плоскости.

Точку М с однородными координатами записываем так:

Замечание 2. Пусть М — несобственная точка плоскости, тогда

Пара чисел есть пара координат некоторого не равного нулю вектора плоскости; несобственные точки

совпадают тогда и только тогда, когда тройки , т. е. пары пропорциональны, а это значит, что векторы коллинеарны, или определяют в плоскости одно и то же направление (являются направляющими векторами одной и той же прямой).

Таким образом, несобственные точки плоскости взаимно однозначно соответствуют направлениям в плоскости (при этом надо помнить, что два противоположных вектора определяют одно и то же направление). Несобственные точки называют также бесконечно удаленными и говорят, что бесконечно удаленная точка «удалена в бесконечность» в направлении вектора т. е. в направлении прямой, имеющей эти векторы своими направляющими векторами.

Мы вернулись к тому представлению о несобственных точках плоскости, которое было дано еще в § 5 главы V.

2. Уравнение прямой на плоскости в однородных координатах. Пусть на плоскости дана прямая d споим уравнением

в системе координат

Найдем уравнение, которому удовлетворяет всякая тройка однородных координат любой точки прямой d. Другими словами, найдем уравнение прямой d в однородных координатах. Для этого, взяв произвольную точку прямой d и какую-нибудь тройку однородных координат этой точки, выразим аффинные координаты х и у точки М через ее однородные координаты по формулам (1) и подставим полученные значения

в уравнение (3). Получим

т. е.

Это и есть искомое уравнение.

Замечание 3. Этому же уравнению удовлетворяют и координаты (в системе ) любого луча связки О, лежащего в плоскости и только координаты такого луча (рис. 229).

Рис. 229.

Обратно, пусть дано уравнение (4); предположим сначала, что в этом уравнении по крайней мере один из коэффициентов отличен от нуля. Посмотрим, каковы те собственные точки плоскости, которые удовлетворяют этому уравнению. Пусть собственная точка М плоскости имеет тройку однородных координат удовлетворяющую уравнению (4). Тогда и всякая тройка однородных координат точки удовлетворяет уравнению (4); в частности, этому уравнению удовлетворяет и тройках х, у, 1, где х, и у — аффинные координаты точки М. Итак, если однородные координаты точки удовлетворяют уравнению (4), то аффинные координаты этой точки удовлетворяют уравнению (3) и, следовательно, лежат на прямой (3).

Но на проективной плоскости имеется и несобственная точка, и притом только одна, удовлетворяющая уравнению (4). В самом деле, если тройка однородных координат несобственной точки, удовлетворяющей уравнению (4), то

откуда

единственная несобственная точка, удовлетворяющая уравнению (4), есть точка

Тройки класса (5) и только они суть тройки координат единственного несобственного луча, лежащего в плоскости .

Так как при перспективном соответствии между связкой О и плоскостью отношение инцидентности сохраняется, то несобственная точка (5) должна считаться инцидентной прямой d, т. е. эта точка есть (единственная) несобственная точка пряной d (в направлении которой точка и ушла в бесконечность).

Как и следовало ожидать, две прямые тогда и только тогда имеют общую несобственную точку, когда они параллельны.

Мы до сих пор рассматривали случай, когда в уравнении (4) по крайней мере один из коэффициентов отличен от нуля. Если оба коэффициента то третий коэффициент и уравнение (4), имея вид равносильно уравнению

Этому уравнению удовлетворяют все несобственные точки плоскости и только Уравнение (6) есть уравнение первой степени, его и естественно считать уравнением несобственной прямой плоскости.