ГЛАВА XXII. КРИВЫЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА НА ПРОЕКТИВНОЙ ПЛОСКОСТИ

§ 1. Определение. Теорема единственности

Алгебраической кривой порядка на проективной плоскости (действительной или комплексной) называется множество всех точек этой плоскости, координаты которых в некоторой проективной системе координат удовлетворяют уравнению вида

где есть однородный многочлен (форма) степени от переменных коэффициенты которого мы будем всегда предполагать действительными.

При переходе от одной проективной координатной системы к другой координаты испытывают однородное линейное преобразование, переводящее форму в форму той же степени от новых координат, поэтому данное выше определение порядка кривой не зависит от выбора той или иной системы проективных координат. Если не оговорено противное, мы будем считать, что на плоскости выбрана привилегированная система координат и что являются координатами по отношению к этой системе. Проще всего представить себе при этом данную проективную плоскость как арифметическую проективную плоскость или, что сводится к тому же, но нагляднее, как проективную плоскость , происшедшую от пополнения несобственными точками обычной плоскости с аффинной системой координат на ней, а систему проективных координат на проективной плоскости — как однородную систему, соответствующую аффинной системе . Тогда несобственные точки характеризуются условием

которое и является уравнением несобственной прямой. При перспективном отображении плоскости на связку О координаты какой-нибудь точки М плоскости переходят в координаты луча связки, а уравнение (1) превращается в уравнение конической поверхности с вершиной в центре связки О, сечением которой плоскостью и является кривая, определенная в этой плоскости тем же уравнением (1).

Мы будем рассматривать лишь кривые вто рого порядка, так что левая часть уравнения (1), задающего данную кривую, будет всегда квадратичной формой и уравнение кривой будет иметь вид

В силу только что сказанного кривые второго порядка суть плоские сечения конуса второго порядка.

Кривая второго порядка называется невырождающейся, если левая часть ее уравнения есть квадратичная форма ранга

Посмотрим, чем отличаются кривые второго порядка, определенные на проективной плоскости , от давно известных нам кривых на аффинной плоскости .

Возьмем аффинную систему координат соответствующую данной однородной системе . Тогда множество X собственных точек проективной плоскости , удовлетворяющих уравнению совпадет с множеством точек аффинной плоскости , координаты которых

(относительно системы ) удовлетворяют уравнению

Множество X пусто в том и только том случае, когда уравнение (3) противоречиво, т. е. когда а все остальные коэффициенты равны нулю. В этом случае уравнение (2) превращается в

и является уравнением дважды взятой несобственной прямой.

Итак:

Теорема 1а. Если все точки кривой (2) несобственные, то кривая (2) есть дважды взятая несобственная прямая; тогда ее уравнение непременно имеет вид

Предположим теперь, что кривая (2) содержит все несобственные точки плоскости и хотя бы одну собственную. В силу только что доказанного, в этом случае хотя бы один из коэффициентов отличен от нуля.

По нашему предположению, всякая несобственная точка удовлетворяет уравнению (2), т. е. равенство

есть тождество, верное для любых значений . Это значит, что

и уравнение (2) имеет вид

т. е.

в котором по крайней мере один из коэффициентов отличен от нули.

Кривая (2) в этом случае распадается на пару различных прямых: несобственную прямую и собственную прямую

Итак:

Теорема 16. Если кривая (2) содержит все несобственные точки плоскости и хотя бы одну собственную, то она распадается на пару различных прямых, из которых одна есть несобственная прямая. Уравнение (2) в этом случае непременно имеет вид

Очевидно и обратное утверждение: если уравнение (2) имеет вид (), то кривая (2) распадается на пару прямых: на несобственную прямую

и на прямую

это вторая прямая оказывается несобственной тогда и только тогда, когда а (и тогда непременно ).

Предположим теперь, что не все несобственные точки плоскости лежат на кривой (2) (т. е. что несобственная прямая не содержится в кривой ). Тогда среди коэффициентов по крайней мере один отличен от нуля и уравнение (2) определяет на аффинной плоскости с координатной системой некоторую кривую второго порядка.

Для определения несобственных точек кривой в уравнение (2)

Получаем

Это уравнение определяет дна значения (действительные различные, мнимые сопряженные или совпадающие действительные) для отношения . Итак:

Теорема 1в. Кривая второго порядка (2), не содержащая несобственную прямую, имеет лишь две несобственные точки: действительные (быть может, совпадающие) или мнимые сопряженные.

Так как вектор удовлетворяющий уравнению (4), есть вектор асимптотического направления кривой (3), то несобственные точки кривой второго порядка, не содержащей несобственную прямую, суть точки, удаленные в бесконечность в одном из двух направлений, асимптотических для данной кривой.

Из доказанного легко следует

Теорема 2 (теорема единственности). Если два уравнения

и

рассматриваемые относительно одной и той же системы проективных координат, определяют одну и ту же кривую втооого порядка, то одно из двух уравнений (2), (2) получается из другого почленным умножением на некоторый числовой множитель К.

Доказательство. Без ограничения общности можем предположить, что выбранная проективная координатная система есть однородная система, соответствующая некоторой аффинной координатной системе . Рассматриваем три случая.

1° Кривая у состоит из одних несобственных точек. Тогда в силу теоремы 1а оба уравнения (2) и (2) имеют вид

и

и утверждение теоремы 2 доказано.

2° Кривая есть пара прямых, одна из которых есть несобственная прямая а другая — собственная прямая d.

Тогда по теореме 1б уравнения (2) и (2) имеют соответственно вид

и

а прямая d определяется каждым из уравнений

и

из чего следует, что при некотором

Так как, кроме того,

то утверждение теоремы единственности доказано и в случае 2°.

3° Кривая не содержит несобственной прямой. В этом случае кривая , определяемая уравнениями (2) и (2) имеет две (быть может, слившиеся) несобственные точки и только ими отличается от кривой второго порядка, определяемой на плоскости уравнениями

Так как кривые (3) и (3), по предположению, состоят из одних и тех же точек, то в силу теоремы единственности главы XVII, § 2, коэффициенты уравнения (2), т. е. коэффициенты формы получаются из соответствующих коэффициентов уравнения (2), т. е. из коэффициентов формы умножением их на некоторый числовой множитель Теорема 2 доказана.