§ 6. Деление отрезка в данном отношении

Пусть дан направленный отрезок АВ прямой; говорят, что точка

М этой прямой делит отрезок АВ в отношении, равном X, где произвольное вещественное число, если

Когда точка М лежит между точками А и В (т. е. внутри отрезка

АВ), то векторы АМ и МВ направлены в одну сторону (рис. 2) и отношение (1) положительно.

Рис. 2.

Когда точка М лежит вне отрезка

АВ, то векторы АМ и МВ направлены в противоположные стороны (рис. 3) и отношение (1) отрицательно.

Посмотрим, как изменяется отношение (1), когда точка М пробегает всю прямую. Когда точка М совпадает с точкой А, то отношение (1) равно нулю; если затем точка М пробегает отрезок АВ в направлении от А к В, то отношение (1) непрерывно возрастает, делаясь при приближении точки М к В сколь угодно большим. Когда , то дробь (1) теряет смысл, так как ее знаменатель обращается в нулевой вектор. При дальнейшем движении точки по прямой в том же направлении (на рис. 3, а направо от В) отношение (1) становится отрицательным, причем если Ж находится достаточно близко от В, то это отношение имеет сколь угодно большую абсолютную величину.

Так как , то (в силу предложения 8 § 4) имеем

Когда точка М, двигаясь все время в том же направлении (на нашем рис. 3, а слева направо), уходит но прямой в бесконечность, то дробь - стремится к нулю (так как ее числитель остается постоянным, а знаменатель неограниченно возрастает), следовательно, отношение , - стремится к -1.

Пусть теперь М переходит на «левую» из двух полупрямых, на которые точка А разбивает прямую (т. е. на ту полупрямую, которая не содержит отрезка АВ). Если при этом точка М находится достаточно далеко от точки А, то , снова сколь угодно мало и, значит, но формуле отношение сколь угодно мало отличается от —1. При приближении точки М слева к точке А (рис. 3, б) отношение (I), оставаясь отрицательным, непрерывно уменьшается по модулю и наконец делается равным нулю, когда точка М возвращается в точку А.

Рис. 3.

Заметим, что ни при каком положении точки М на прямой отношение не равно —1. В самом деле, отношение отрицательно, лишь когда точка М лежит вне отрезка АВ. Но в этом случае отрезки AM и MB никогда не бывают равны, т. е.

Пусть теперь на прямой установлена система координат и О — начало этой системы. Обозначим координату точки А через точки В — через , а переменной точки М — через . Тогда и

т. е.

Эти формулы позволяют для каждой точки найти отношение, в котором она делит отрезок АВ, и обратно, по заданному отношению к найти ту единственную точку , которая делит отрезок АВ в этом отношении. Установленное таким образом соответствие между точками М нашей прямой и числами К, выражающими отношение, в котором точка М делит отрезок АВ, было бы взаимно однозначным, если бы оно не нарушалось в двух случаях: во-первых, точке не соответствует никакое X, во-вторых, число не соответствует никакой точке М.

Но математика (в отличие от грамматики) не любит исключений! Поэтому постараемся и в нашем случае их устранить.