ГЛАВА V. ПРЯМАЯ ЛИНИЯ

§ 1. Направляющий вектор и угловой коэффициент прямой (в произвольной аффинной системе координат). Уравнение прямой

Определение. Всякий ненулевой вектор, коллинеарный данной прямой, называется ее направляющим вектором.

Так как всякие два направляющих вектора одной и той же прямой коллинеарны между собою, то один из них получается из другого умножением на некоторое число .

Ббльшая часть этой главы исследованию прямых линий на плоскости; лишь в §§ 4 и 10 рассматриваются прямые в пространстве; прямые в пространстве будут изучаться еще и в главе X.

Предположим, что в данной плоскости раз навсегда выбрана некоторая аффинная система координат.

Рассматриваем сначала случай прямой d, параллельной одной из координатных осей. Если прямая d параллельна оси ординат, то (согласно замечанию на стр. 40) ее направляющими векторами являются все векторы вида и только они (здесь - произвольное число ). Точно так же ненулевые векторы вида и только эти векторы являются направляющими векторами любой прямой, параллельной оси абсцисс.

Рис. 63.

Пусть прямая d параллельна оси ординат и пересекает ось абсцисс в точке (рис. 63). Тогда все векторы ОМ, где М — произвольная точка прямой, при проектировании на ось абсцисс (вдоль оси ординат) переходят в один и тот же вектор для всех точек М нашей прямой (и только для них) имеем

Это и есть уравнение прямой, параллельной оси ординат. Аналогично прямая, параллельная оси абсцисс, имеет уравнение

(При этом параллельность понимается в широком смысле — сама ось ординат имеет уравнение , а ось абсцисс

Имеет место следующее простое предложение:

Для всех направляющих векторов данной прямой, не параллельной оси ординат, отношение ординаты вектора к его абсциссе имеет одно и то же постоянное значение k, называемое угловым коэффициентом данной прямой.

В самом деле, если - два направляющих вектора данной прямой d, то , т. е. одновременно

и, значит (так как ),

Замечание 1. Направляющий вектор прямой, параллельной оси ординат, имеет вид поэтому угловой коэффициент прямой, параллельной оси ординат, равен .

Угловой коэффициент прямой, параллельной оси абсцисс, есть 0,

Замечание 2. Всякий вектор , для которого отношение равно угловому коэффициенту k данной прямой d, есть направляющий вектор этой прямой.

Для прямых, параллельных какой-нибудь из осей координат, утверждение очевидно (так как тогда или и вектор , для которого , параллелен соответствующей оси координат). Пусть прямая d не параллельна ни одной из осей координат и есть какой-нибудь направляющий вектор этой прямой. Тогда , т. е. вектор и коллинеарен направляющему вектору их прямой d и, следовательно, сам является ее направляющим вектором.

Замечание 3. Если система координат прямоугольная, то для углового коэффициента k прямой d имеем , где а есть угол наклона любого направляющего вектора прямой d к оси абсцисс.

Найдем теперь уравнение прямой d, не параллельной оси ординат (система координат снова произвольная аффинная).

Обозначим угловой коэффициент прямой d через k, а точку ее пересечения с осью через (рис. 64).

Если произвольная точка прямой d, отличная от точки Q, то вектор есть направляющий вектор прямой d и, следовательно,

Другими словами, все точки прямой d удовлетворяют уравнению

Обратно, всякая точка , удовлетворяющая уравнению (1), лежит на прямой d: в самом деле, существует единственная точка М с абсциссой лежащая на прямой d, и эта точка, имея ту же абсциссу , что и точка удовлетворяет уравнению (1) и, значит, имеет ординату ту же, что и точка . Значит, т. е. точка лежит на прямой .

Рис. 64.

Итак, уравнению (1) удовлетворяют все точки прямой d и только они, а это и значит, что уравнение (1) есть уравнение прямой .

Пусть мы каким бы то ни было способом нашли уравнение вида (1), которому удовлетворяют все точки данной прямой d и только они.

Докажем, что тогда непременно есть ордината Q пересечения прямой d с осью ординат, a k есть угловой коэффициент этой прямой.

Первое утверждение очевидно: для нахождения точки Q пересечения прямой d с осью ординат надо в уравнение (1) подставить получаем , т. е. . Далее, при любом выборе отличной от Q точки прямой d вектор есть направляющий вектор этой прямой, и, следовательно, есть угловой коэффициент прямой .

Итак, существует единственное уравнение вида (1), являющееся уравнением данной прямой d (не параллельной оси ординат). Это уравнение — первой степени; так как и прямая, параллельная оси ординат, определяется уравнением первой степени , то мы доказали, что всякая прямая на плоскости определяется некоторым уравнением первой степени, связывающим координаты ее точек.

Докажем обратное предложение. Пусть

— произвольное уравнение первой степени относительно . Докажем, что оно является уравнением некоторой прямой.

Возможны два случая: или ВО.

Рассмотрим первый случай: . Тогда уравнение (2) имеет вид

и (иначе не было бы уравнения, а было бы верное или неверное тождество ); следовательно,

т. е. уравнение (2) является уравнением некоторой прямой, параллельной оси ординат.

Переходим ко второму случаю: Тогда уравнение (2) переписывается в виде

и определяет прямую d, пересекающую ось ординат в точке и имеющую угловой коэффициент , что и требовалось доказать.

Замечание 4. Так как , то вектор

есть направляющий вектор прямой (2). Это утверждение верно и при (т. е. для прямых, параллельных оси ординат).

Отсюда следует, что направляющими векторами прямой d (определенной уравнением ) являются все векторы

где , (при каком-нибудь ). Очевидно, эти векторы удовлетворяют уравнению

Обратно, если вектор удовлетворяет уравнению (3), то , т. е. и есть направляющий вектор прямой d; случай прямой, параллельной оси ординат, исключением не является.

Другими словами: все векторы , удовлетворяющие уравнению (3) и только они, коллинеарны прямой, определенной уравг. нением (2).