§ 2. Пересечение кривой второго порядка с прямой. Касательные; асимптоты

Пусть дана кривая второго порядка своим уравнением

и прямая, заданная двумя своими точками и имеющая, следовательно, параметрическое уравнение

(2)

(параметры принимают всевозможные числовые значения, за исключением случая, когда одновременно).

Найдем точки пересечения кривой (1) и прямой (2). Для этого подставим значения из (2) в уравнение (1). Получим после приведения подобных членов уравнение

Обозначая через билинейную форму, полярную к квадратичной форме имеем, как нетрудно вычислить,

Если в уравнении (3) все три коэффициента обращаются в нуль, то это уравнение обращается в тождество, означающее, что при любых значениях точка с координатами (2) лежит на кривой (1), т. е. вся прямая (2) входит в состав кривой (1) (которая в этом случае является распадающейся).

За исключением этого случая, из однородного уравнения (3) всегда определяются два — действительные, мнимые или совпадающие — значення для отношения которые обозначим через и Внося эти значения в равенства (2), получим две точки пересечения кривой (1) с прямой (2).

Посмотрим, при каких условиях эти две точки пересечения сливаются в одну точку, т. е. прямая (2) касается кривой (1). Без ограничения общности можем взягь в качестве точки именно точку касания прямой (2) и кривой (1). Тогда двойная точка пересечения кривой (1) и прямой (2) должна получиться при значениях так как точка взята на кривой (1), то в уравнении (3) надо положить

уравнение (3) примет вид

или

Это уравнение должно иметь корень своим двойным корнем. А это означает, что и уравнение

должно иметь корень т. е. что . Но так как (при заведомо то условие, чтобы прямая (2) касалась кривой (1) в точке P, есть

или

для любой точки прямой (2). Поэтому уравнение в котором теперь естественно однородные координаты произвольной точки Q обозначать через (вместо есть уравнение касательной к кривой (1) в точке Это уравнение мы переписываем в виде

или, подробнее, в виде

Итак, касательная к кривой (1) в ее точке есть прямая (7), т. е. прямая с координатами

Не может ли случиться, что всякая прямая, проходящая через точку кривой (1), пересекает эту кривую в двух совпадающих точках (или целиком содержится в нашей ? Очевидно, это происходит тогда и только тогда, когда уравнение удовлетворяется для любой точки что в свою очередь означает, что все коэффициенты этого уравнения равны нулю, т. е. что

Точка , удовлетворяющая системе равенств (6), называется особой или двойной точкой кривой (1) Если кривая (1) нераспадающаяся, то детерминант системы уравнений (6) отличен от нуля, система не имеет ни одного ненулевого решения: нераспадающаяся кривая не имеет особых точек. Если кривая (1) распадается на пару различных прямых то из геометрических соображений ясно, что она имеет единственную особую точку, а именно точку пересечения прямых .

Из доказанного следует, что эта точка P непременно удовлетворяет системе уравнений (6). Наконец, у кривой, являющейся нарой совпадающих прямых, все точки особые. Формально алгебраическое доказательство этих утверждений предоставляется читателю.

Посмотрим, какая прямая является касательной к кривой (1) в ее несобственной точке

Так как P — несобственная точка кривой (1), то есть вектор асимптотического направления. Подставляя в уравнение (7), получаем уравнение искомой касательной:

Но мы видели в главе XVII (§ 5, стр. 444, формула (4)), что уравнение асимптоты есть

при условии, что есть вектор асимптотического направления. Переходя в уравнении (10) от обыкновенных координат к однородным, получаем как раз уравнение ( - касательной в несобственной точке кривой (1). Итак, асимптоты кривой второго порядка суть касательные к этой кривой в ее несобственных точках.

Мы видели, что кривая второго порядка (не содержащая несобственную прямую) имеет две (быть может, совпадающие) несобственные точки, удаленные в бесконечность в асимптотических для данной кривой направлениях. Поэтому кривые эллиптического типа (эллипс и пара мнимых прямых) пересекают несобственную прямую в двух мнимых сопряженных точках; кривые гиперболического типа (гипербола и пара действительных пересекающихся прямых) пересекают несобственную прямую в двух различных действительных точках.

Наконец, парабола (и пара параллельных прямых) имеет с несобственной прямой пару слившихся точек пересечения: парабола касается несобственной прямой. В соответствии со сказанным выше естественно считать несобственную прямую асимптотой параболы. Восстанавливается полная гармония:

эллипс имеет две мнимые сопряженные асимптоты, гипербола — две действительные,

парабола имеет две слившиеся с несобственной прямой асимптоты.

Найдем несобственные точки окружности.

Систему координат на плоскости предполагаем прямоугольной. Тогда уравнение (1) изображает окружность, если

Поэтому несобственные точки окружности суть точки, координаты которых удовлетворяют уравнению

или, сокращая на

т. е.

или

Итак, все окружности имеют одни и те же несобственные точки

Эти точки называются круговыми (или циклическими) точками (арифметической комплексной) проективной плоскости , снабженной однородной системой координат, соответствующей прямоугольной системе координат на плоскости . Круговые точки удалены в бесконечность в изотропных направлениях.

Докажем, что всякая кривая второго порядка, проходящая через две круговые точки, есть окружность (с действительным, мнимым или нулевым радиусом).

В самом деле, подставляя в уравнение (1) координаты

круговых точек, получим

Так как — действительные числа, то из этого равенства следует откуда в свою очередь вытекает (см. гл. XVI, § 3), что кривая (1) есть окружность.

Теорема 3. Среди всех кривых второго порядка окружности характеризуются тем, что они проходят через две круговые точки. Выведем отсюда следующее очень важное предложение. Теорема 4. Среди всех проективных преобразований плоскости преобразования подобия характеризуются тем, что они не только отображают на себя несобственную прямую, но отображают ее так, что каждая из двух круговых точек отображается на ту же самую или на другую круговую точку.

Доказательство. Если данное проективное преобразование есть преобразование подобия, то, будучи аффинным преобразованием, отображает несобственную прямую на себя. Так как при преобразовании каждая окружность К переходит в некоторую окружность то пересечение окружности К с несобственной прямой, состоящее из пары круговых точек, переходит в пересечение окружности К с несобственной прямой, т. е. снова в пару круговых точек. Итак, при преобразованиях подобия несобственная прямая отображается на себя и каждая круговая точка или остается неподвижной, или переходит в другую круговую точку.

Первое утверждение теоремы доказано.

Докажем второе утверждение. Если данное проективное преобразование переводит несобственную прямую в несобственную, то оно является аффинным; если оно, кроме того, переводит круговые точки в круговые, то оно переводит всякую кривую второго порядка, проходящую через круговые точки, в кривую второго порядка, также проходящую через круговые точки, т. е. переводит всякую окружность в окружность. А тогда, как было доказано в главе XVII, § 12, теорема 14, преобразование является преобразованием подобия.

Из доказанного вытекает

Следствие. Если при данном аффинном преобразовании плоскости хотя бы одна окружность К переходит в окружность К, то преобразование есть преобразование подобия.

В самом деле, дополним аффинное преобразование до проективного преобразования проективной плоскости . При преобразовании несобственная прямая отображается на себя. Пара круговых точек (как пересечение прямой с окружностью К) отображается на пересечение прямой с окружностью т. е. на пару круговых точек. Значит, по теореме 4 преобразование есть преобразование подобия.

Определение. Множество, состоящее из двух элементов: несобственной прямой и пары круговых точек на ней, — называется абсолютом евклидовой геометрии.

Название это основано на том, что евклидова геометрия по преимуществу является геометрией подобия: все теоремы, касающиеся «формы» тех или иных фигур (а не их размеров), суть теоремы, выражающие те или иные свойства фигур, сохраняющиеся при преобразовании подобия. Мы доказали, что абсолют как бы «управляет» всеми этими свойствами, потому что преобразования подобия — это как раз проективные преобразования, сохраняющие абсолют.

Читатель сейчас достаточно подготовлен, чтобы познакомиться и с простейшими понятиями, касающимися так называемой неевклидовой геометрии;

Он может почерпнуть сведения о них, например, из моей небольшой книжки «Что такое неевклидова геометрия.) (Москва, 1950, Издательство Академии педагогических паук).