§ 7. Эквивалентность подмножеств данного множества по отношению к дайной группе его преобразований

Множество всех преобразований данного множества X является группой (по отношению к определенному выше умножению преобразований); группа эта называется группой всех преобразований множества X или симметрической группой множества X (последнее название употребительно главным образом в случае, когда множество X конечно, и тогда его симметрическая группа есть группа всех перестановок данного конечного множества X).

В группе всех преобразований данного множества X содержится великое множество подгрупп, и все эти подгруппы, естественно, называются группами преобразований множества X. В частности, в симметрической группе конечного множества X в качестве подгруппы содержится, например, группа всех четных перестановок, содержатся и другие подгруппы. Но во всех группах преобразований данного множества закон композиции всегда один и тот же: это то правило перемножения преобразований, которое мы сначала определили для преобразований конечных множеств (т. е. для перестановок), а потом дословно повторили в § 3 для преобразований любых множеств.

В этих лекциях нас интересуют преобразования плоскости, пространства (рассматриваемых как множества лежащих в них точек и векторов) и вообще преобразования множеств, являющихся теми или иными геометрическими объектами; при этом мы изучаем лишь преобразования, удовлетворяющие некоторым геометрическим условиям. Так, мы изучаем группы движений плоскости и трехмерного пространства, линейные преобразования векторных пространств и другие группы преобразований пространств различного числа измерений. Во всех случаях первостепенное значение для нас имеет порождаемое данной группой преобразований множества X понятие эквивалентности подмножеств множества X. Это понятие эквивалентности мы сейчас и определим.

Два подмножества А и множества X называются эквивалентными относительно данной группы преобразований G множества X, если в числе элементов группы G имеется преобразование «переводящее А в », т. е. отображающее множество А на множество А.

Это определение эквивалентности удовлетворяет требованиям рефлексивности, симметрии и транзитивности В самом деле, рефлексивность вытекает из того, что одним из элементов группы G (как и всякой группы преобразований) является тождественное преобразование е. Мы не изменим множество А, подвергая его тождественному преобразованию; следовательно, каждое множество А эквивалентно самому себе (относительно группы преобразований G множества X). Симметрия вытекает из того, что группа О, содержащая преобразование переводящее множество А в некоторое множество А, содержит и обратное преобразование переводящее множество А в множество . Поэтому, если множество А эквивалентно множеству , то и множество А эквивалентно множеству А. Остается транзитивность. Если посредством преобразования множество А переходит в множество а посредством преобразования множество переходит в множество то преобразование переводит множество А в множество если множество А эквивалентно множеству а множество — множеству то множество А эквивалентно множеству .

Итак, все три аксиомы эквивалентности выполнены. Поэтому любая совокупность подмножеств множества X распадается на классы, состоящие из множеств, попарно эквивалентных между собою по отношению к данной группе преобразований G множества X.

Замечание. Нам часто приходится доказывать, что такая-то совокупность геометрических фигур состоит из фигур, эквивалентных между собою по отношению к такой-то группе преобразований. Почти всегда мы делаем это, доказывая, что все фигуры этой совокупности эквивалентны какой-нибудь одной среди - они тогда будут эквивалентны между собою (в силу аксиомы транзитивности).

Пример. Назовем преобразование (или пространства) преобразованием подобия или подобным преобразованием, если существует такое число k (коэффициент подобия), что, обозначая через две произвольные точки плоскости, а через их образы при преобразовании имеем где — расстояние между точками (длина отрезка Легко видеть, что подобные преобразования плоскости (пространства) образуют группу преобразований. Два множества точек плоскости или пространства (две любые геометрические фигуры) называются подобными между собою, если они эквивалентны по отношению к группе подобных преобразований. Совокупность всех множеств, лежащих в плоскости, а следовательно и любая совокупность тех или иных специальных фигур, например совокупность всех плоских многоугольников или всех кривых второго порядка, распадается на классы подобных между собою фигур. То же и в пространстве.

Мы доказываем (в главе XVI), что все параболы подобны между собою. Для этого достаточно доказать, что все параболы подобны одной определенной параболе, например той, которая в данной системе координат имеет уравнение . В главе XVI мы так и поступаем.

В этих лекциях вопросы классификации геометрических фигур по отношению к той или иной группе преобразований (того пространства, в котором эти фигуры рассматриваются) занимают видное место.