§ 7. Билинейные и квадратичные формы в евклидовых пространствах

Основным результатом этого параграфа является Теорема 15. Пусть в евклидовом пространстве дана симметричная билинейная функция Тогда в существует ортонормальный базис в котором функция записывается в каноническом виде:

Доказательство основывается на следующей лемме, представляющей и самостоятельный интерес.

Лемма. Если билинейная функция и линейный оператор А, определенные в евклидовом пространстве имеют в каком-нибудь ортонормальном базисе одну и ту же матрицу то и во всяком ортонормальном базисе они будут иметь одну и ту же матрицу .

В самом деле, пусть матрица перехода от базиса к базису есть С. Тогда матрица оператора А в базисе есть

что же касается билинейной функции то, имея в базисе , но предположению, матрицу она будет иметь в базисе матрицу

Но С (как матрица перехода от одного ортонормального базиса к другому) есть ортогональная матрица, поэтому и билинейная функция имеет в базисе ту же матрицу что и оператор А.

Замечание 1. Из доказательства этой леммы ясиа существенность предположения, что базисы ортонормальны: в противном случае матрица С не была бы ортогональна, следовательно, С не совпадала бы с и все рассуждения были бы несправедливы. Интерес леммы состоит в том, что она позволяет установить естественное взаимно однозначное соответствие между всеми билинейными формами, с одной стороны, и всеми линейными операторами, с другой стороны (определенными в данном евклидовом пространстве ): соответствующими друг другу считаются форма Q и оператор А, имеющие в каком-нибудь (и тогда во всяком) ортонормальном базисе одну и ту же матрицу.

Из теоремы 9 и только что доказанной леммы теорема 15 вытекает в двух словах.

Пусть в пространстве дана симметричная билинейная функция ); пусть А — ее (симметричная) матрица (в каком-нибудь ортонормальном базисе ); пусть А — соответствующий форме оператор (имеющий в базисе ту же матрицу А, что и форма ).

Так как матрица А симметрична, то оператор А самосопряжен, следовательно (в силу теоремы 9), существует ортонормальный базис в котором матрица оператора А имеет диагональный вид:

где суть характеристические числа оператора А (т. корни характеристического уравнения матрицы А).

Но по только что доказанной лемме матрица (2) является и рицей билинейной формы в базисе так что

Теорема 15 доказана.

Следствие. Для всякой квадратичной функции определенной в евклидовом пространстве существует ортонормал базис в котором функция записывается квадратичная форма канонического вида:

При этом коэффициенты суть характеристические функции (и), т. е. характеристические числа ее матрицы (в мобс ортонормальном базисе).