§ 5. Проективная система координат в связке и на проективной плоскости

Пусть снова дана связка О (действительная или комплексная), и пусть, наряду с аффинной системой координат , дана вторая система координат Оеез с тем же началом О, единичные векторы которой получаются из векторов умножением их на одно и то же число к. Две такие координатные системы назовем эквивалентными. Всякая тройка чисел являющихся тройкой координат какого-нибудь вектора и в одной из двух эквивалентных координатных систем, будет тройкой координат коллинеарного вектора соответственно ) в другой системе. Поэтому совокупность всех троек однородных координат какого-нибудь луча связки будет в двух эквивалентных координатных системах одной и той же.

Легко доказать и обратное утверждение. Если относительно двух координатных систем и в связке О каждый луч этой связки имеет одни и те же однородные координаты, то системы и эквивалентны.

В самом деле, так как луч, несущий вектор имеет в системе тройку координат то в обеих системах тройками координат этого луча являются все тройки вида и только они, откуда, в частности, следует, что вектор имеет в системе координаты , где так что Аналогично . Остается доказать, что . Но луч, несущий вектор по предположению, в обеих системах одну и ту же координатную запись так что мы имеем для самого вектора равенство при некотором . Так как, с другой стороны, то что и требовалось доказать.

Замечание 1. Из приведенного доказательства вытекает, что для эквивалентности двух координатных систем Оеез и в связке О необходимо и достаточно, чтобы три координатных луча и «единичный луч» одной системы имели бы ту же координатную запись и в другой системе координат.

Вводим теперь следующее

Определение 6 (первое определение проективной системы координат). Задать в связке О систему проективных координат — значит задать в пространстве какую-нибудь систему аффинных координат с началом О. При этом две эквивалентные системы аффинных координат, по определению, задают в связке одну и ту же систему проективных координат.

Другими словами: система проективных координат в связке с центром О есть класс эквивалентных между собою аффинных координатных систем с началом О.

Посмотрим, как определить этот класс геометрически.

Чтобы задать аффинную систему координат с началом О, можно, вместо того чтобы задавать сами единичные векторы задать несущие их прямые (оси координат) и точку . Проекции этой точки Е на оси координат) и определят единичные векторы причем Точка Е называется единичной точкой данной аффинной системы координат. Очевидно, две аффинные системы координат с началом О тогда и только тогда эквивалентны, когда у них одни и те же оси, а единичные точки лежат на одном и том же луче — на «единичном» луче Е связки.

Поэтому определение 6 может быть сформулировано и следующим образом.

Определение 6 (второе определение проективной системы координат). Задать проективную систему координат в связке — значит задать в этой связке три некомпланарных координатных луча и четвертый, «единичный» луч Е, не компланарный ни с какими двумя из координатных лучей

Пусть в связке О дана проективная система координат Спрашивается: как найти класс эквивалентных между собою аффинных координатных систем, определяющих (в смысле первого определения) данную проективную систему координат? Для этого возьмем на единичном луче Е данной проективной координатной системы произвольную точку Е (рис. 231), обозначив через

ее проекции на оси координат (т. е. на лучи ), получим векторы

Аффинная координатная система и все системы ей эквивалентные, и образуют, очевидно, класс, определяющий данную проективную систему .

Каждая система , входящая в этот класс, получается, если на том же единичном луче взять какую-нибудь точку и ее проекции на лучи .

Из этого построения ясна и роль единичного луча Е проективной координатной системы: если брать разные тройки векторов лежащих соответственно на координатных осях и не связывать эти тройки требованием, чтобы сумма векторов каждой тройки была направляющим вектором одного и того же (для всех троек) луча связки О, то будем получать различные, вообще говоря, не эквивалентные между собою аффинные координатные системы.

Рис. 231.

Тройки координат произвольного луча связки О в аффинной координатной системе или что то же, в любой аффинной координатной системе, эквивалентной системе , и называются, по определению, тройками проективных координат этого луча в проективной системе

В частности, координатные лучи и единичный луч Е получают в системе соответственно координатную запись

Далее, любая тройка коэффициентов их, любого уравнения

произвольной плоскости связки О относительно системы координат является, по определению, тройкой проективных координат этой плоскости в проективной системе координат .

Рис. 232.

Все это переносится посредством изоморфного, а именно перспективного, отображения и на плоскость , получаемую пополнением обычной плоскости несобственными точками. Все остается по-прежнему, только вместо «луч связки О» надо говорить «точка плоскости P», а вместо «плоскость связки О» — «прямая плоскости P». Координатные лучи превращаются в точки (рис. 232); эти точки принято называть вершинами координатного треугольника, состоящего из трех точек и трех прямых инцидентных парам этих точек; эти прямые называются сторонами координатного треугольника. Единичный луч Е делается единичной точкой Е. Четыре точки называются фундаментальными (или базисными) точками данной проективной координатной системы на плоскости.

Замечание 2. Пусть — плоскость трехмерноно пространства с заданной в ней аффинной системой координат . Построим в пространстве аффинную систему координат естественно связанную с системой на плоскости Система определит на проективной плоскости , происшедшей от исполнения плоскости несобственными элементами, проективную систему координат (рис. 233), причем проективная плоскость отображена на связку О естественным изоморфизмом, а именно перспективным отображением. Очевидно, что проективные координаты точек плоскости относительно системы суть не что ииое, как их однородные координаты относительно аффинной системы координат .

Поэтому только что определенная нами на проективной плоскости проективная система координат называется однородной системой координат, соответствующей данной аффинной координатной системе на . Из трех вершин координатного треугольника вершины

суть, очевидно, несобственные точки соответственно оси абсцисс и оси ординат системы («точки, удаленные в бесконечность в направлении соответственно прямых тогда как точка есть начало координат о системы а точка ( - точка плоскости имеющая в системе координат координаты .

Рис. 233.

Прямая (т. е. прямая, инцидентная точкам и ) есть ось абсцисс, а прямая ось ординат координатной системы , прямая есть несобственная прямая.

Вообще, если проективная система координат определена вершинами координатного треугольника и единичной точкой Е, то прямая должна иметь такие координаты чтобы гочки удовлетворяли уравнению

откуда сразу вытекает, что (тогда как, естественно, третья координата отлична от нуля). Итак, прямая имеет координаты Аналогично заключаем, что прямые имеют соответственно координаты 1: 0: 0 и 0: 0: 1.

Итак, наряду с формулами

дающими координатную запись вершин координатного треугольника, имеем следующую координатную запись сторон этого треугольника:

Отождествляя каждую точку плоскости с классом троек ее однородных координат, мы превращаем плоскость я в арифметическую проективную плоскость с данной в ней основной, «привилегированной» проективной координатной системой где точки , как точки арифметической проективной плоскости, даны своей записью (1). Эта система координат называется системой однородных координат на арифметической проективной плоскости.

Пусть в связке О (или какой-нибудь плоскости P, изоморфно отображенной на связку О) даны две проективные координатные системы — исходная и «новая» система новая система задана какими-то тройками координат ее фундаментальных точек относительно исходной системы:

Требуется написать «формулы преобразования координат», выражающие координаты любой точки М относительно исходной системы координат через координаты той же точки в «новой» системе координат.

Предположим сначала, что тройки координат (2) каждой из точек выбраны согласованными, т. е. так, что имеет место векторное равенство

тогда, считая векторы

Единичными векторами аффинной системы координат в связке О, видим, что эта аффинная координатная система задает именно проективную систему и что, следовательно, проективные координаты какого-либо луча связки О (и соответствующей ему точки М плоскости P) в системе суть не что иное, как координаты того же луча в аффинной системе .

Вернемся теперь к системе

Выберем на луче Е какой-нибудь вектор и возьмем его проекции на лучи Тогда есть аффинная система координат в связке, задающая проективную систему . Каждая тройка проективных координат в системе луча есть тройка координат в аффинной системе некоторого направляющего вектора и этого луча.

С другой стороны, тройка координат луча в системе есть тройка координат (в аффинной системе координат ) какого-то направляющего вектора того же луча . Поэтому из (2) и из формул преобразования аффинных координат получаем (имея в виду, что координаты вектора и в системе суть , что

т. е. что

Это и есть формулы перехода от проективной системы к проективной системе в предположении, что для координатной записи фундаментальных точек выбраны (относительно системы ) согласованные тройки координат (2).

Предположим теперь, что выбраны какие угодно, может быть, и не согласованные между собою, тройки координат точек . Тогда их надо заменить определяющими те же точки согласованными тройками, т. е. надо найти такие отличные от нуля множители чтобы

и чтобы, кроме того, имело место векторное равенство

Но векторное равенство (3) равносильно системе уравнений (относительно )

Детерминант d этой системы отличен от нуля (так как столбцы матрицы коэффициентов линейно независимы), поэтому система решается однозначно по правилу Крамера. При этом одно из чисел не равно нулю, В самом деле, имеем, например,

Если бы числитель этой дроби был равен нулю, то столбцы стоящего в числителе детерминанта были бы линейно зависимы, что невозможно, так как эти столбцы суть тройки координат не коллинеарных между собою точек .

Найдя из уравнений значения и подставив их в получим координатную запись (2) точек уже посредством согласованных троек координат и формулы преобразования координат:

где

т. e. коэффициенты вполне определены первоначальными («несогласованными») тройками (2).

Замечание 3. Пусть на проективной плоскости P задана некоторая привилегированная («исходная») проективная система координат, например, на арифметической проективной плоскости задана исходная система однородных координат. Координаты какой-нибудь точки в этой исходной системе будем обозначать через . Тогда переход к какой-нибудь новой системе координат определяется просто некоторой невырождающейся матрицей С — матрицей коэффициентов и формулах (4) или (4). Поэтому можно, не вдаваясь в приведенные выше «геометрические» рассуждения, просто сказать: задать на арифметической проективной плоскости систему проективных координат — значит задать невырожденную матрицу С. В определенной этой матрицей новой системе координат точка М получает в качестве координат всевозможные тройки вида

где матрица коэффициентов D есть обратная матрица к матрице С коэффициентов в (4), так что формулы (4) и (5) эквивалентны между собою и выражают взаимно однозначное соответствие между классами троек старых «однородных» и новых «проективных» координат какой-либо точки проективной плоскости.

Замечание 4.

Можно было бы рассуждать следующим образом: для того чтобы определить на проективной плоскости (снабженной привилегированной «однородной» системой координат ) новую проективную систему координат с заданным координатным треугольником достаточно задать точки вместе с какими-нибудь определенными тройками их координат (в системе ), а именно

Тогда единичная точка Е однозначно определится требованием, чтобы тройка ее координат была согласована с тройками (6), т. е. требованием

или

Это понятно и геометрически: выбор троек (6) означает, что в связке выбраны не только оси координат но и единичные векторы на них, т. е. выбрана аффинная система координат, определяющая данную проективную.

Приведенным рассуждением иногда бывает удобно пользоваться, одиако надо иметь в виду следующее.

Среди троек координат точек (и прямых) проективной плоскости нет привилегированных: отдельная тройка — например, для точки — никакого смысла на проективной плоскости не имеет; выделяя ее, мы, по существу, покидаем проективную плоскость (как множество ее точек и прямых), возвращаемся к породившему ее трехмерному пространству и даже выбираем в нем определенную аффинную систему координат. Поэтому только что предложенное рассуждение выпадает из рамок проективной геометрии; это можно делать, лишь рассматривая проективную геометрию плоскости как часть аффинной геометрии трехмерного пространства, как геометрию конкретно данной в нем связки, без всякой претензии на проективную чистоту метода.