Задачи к главам XIX и XX

Задача 85. Дана поверхность второго порядка

Определить вид этой поверхности, доказать, что она является поверхностью вращения, написать ее каноническое уравнение и найти ось вращения. (Система координат прямоугольная.)

Решение. Имеем

Поверхность невырожденная центральная.

Характеристическое уравнение имеет вид

или

Так как и среди корней характеристического уравнения имеются как положительные, так и отрицательные (согласно правилу Декарта один корень положительный и два отрицательных), то поверхность — однополостный гиперболоид.

Для того чтобы поверхность второго порядка была поверхностью вращения, необходимо и достаточно, чтобы ее характеристическое уравнение имело кратный корень, для чего в свою очередь необходимо и достаточно, чтобы корень характеристического многочлена был в то же время и корнем его производной. Производная характеристического многочлена

Корни производной ±3. Подвергаем проверке только корень —3, так как у характеристического многочлена только один положительный корень. Действительно,

оказывается корнем характеристического многочлена, поэтому можно положить

по теореме Виетта найдем, что

Приведенное уравнение поверхности

Каноническое уравнение поверхности

Уравнения для определения центра

Центр .

Направляющий вектор оси вращения — собственный вектор, соответствующий простому корню . Уравнения для определения координат направляющего вектора оси вращения:

откуда находим направляющие косинусы оси вращения:

или

Уравнение оси вращения

Задача 86. Пользуясь методом Лагранжа, доказать, что поверхность второго порядка

распадается на пару плоскостей, и найти эти плоскости.

Решение. Преобразуем левую часть уравнения поверхности:

Таким образом, данная поверхность второго порядка распадается на две плоскости:

Задача 87. Составить уравнение поверхности второго порядка, пересекающей плоскость по параболе, а плоскости но окружностям радиуса касающимся положительных полуосей координат. Пользуясь преобразованием координат, привести полученное уравнение к каноническому виду. (Система координат прямоугольная.)

Решение. Пусть

— уравнение искомой поверхности.

Линия ее пересечения с плоскостью определяется уравнениями

По условию эта линия есть окружность

По теореме единственности для линии второго порядка коэффициенты уравнений (2) пропорциональны соответствующим коэффициентам уравнений (3), т. е.

Точно так же, рассматривая сечение поверхности плоскостью получим систему уравнений

Эта линия есть окружность

Системы (4) и (5) определяют одну и ту же линию, поэтому

Так как то и потому уравнение (1) можно написать теперь в виде

или, деля на и полагая

получим

Линия пересечения этой поверхности с плоскостью будет

Так как по условию эта линия есть парабола, то детерминант, составленный из коэффициентов старших членов ее уравнения, должен быть равен нулю, т. е.

откуда

При система (7) определяет пару слившихся прямых; при параболу. Таким образом, годится лишь значение . При уравнение (6) принимает вид

Приведем полученное уравнение к каноническому виду. Для этого перепишем уравнение (8) в виде

Положим

Тогда уравнение (9) примет вид

или

— эллиптический параболоид.

Задача 88. Доказать, что плоскость, проходящая через две образующие конуса, является диаметральной плоскостью этого конуса, сопряженной хордам, параллельным линии пересечения плоскостей, касающихся конуса вдоль этих образующих.

Решение. Примем образующие конуса, о которых идет речь в условии задачи, за оси а линию пересечения плоскостей, касающихся конуса вдоль этих образующих, — за ось . Пусть

— уравнение конуса в этой системе координат.

Уравнение плоскости, касательной к конусу в точке отличной от вершины, имеет вид

Плоскость можно рассматривать как касательную плоскость к конусу, проведенную в точке (1, 0, 0). С одной стороны, в силу (2) ее уравнение будет

а с другой стороны, уравнение этой плоскости

откуда следует, что

Точно так же, принимая во внимание, что плоскость есть касательная плоскость к конусу, найдем

Таким образом, уравнение конуса в пашей системе координат имеет вид

Отсюда следует, что всякая прямая, параллельная оси пересекает конус в двух точках т. е. что плоскость делит пополам хорды, параллельные оси