§ 5. Алгебраическая (в частности, прямая) сумма подпространств

Пусть — два подпространства пространства их объединение (т. е. множество векторов, принадлежащее хотя бы одному из двух пространств порождает подпространство , состоящее из всех векторов и вида , где пространство называется (алгебраической) суммой пространств и обозначается через Обозначим через D пересечение подпрострамств (т. е. множество всех векторов, содержащихся и в ). Множество D есть векторное пространство (подпространство пространства и каждого из пространств ). Это следует из того, что всякая линейная комбинация любых векторов их, , принадлежащих множеству содержится как в , так и в , значит, в D. Обозначим размерность пространства D через d (мы уже обозначили через размерность пространств ). Докажем важную формулу

Пусть — произвольный базис пространства D; будучи линейно независимой системой векторов, лежащих как в пространстве , так и в пространстве , система их, может быть дополнена до базиса их, пространства и до базиса их, пространства .

Рассмотрим систему векторов

Каждый вектор есть линейная комбинация векторов

, каждый вектор есть линейная комбинация векторов их, значит, каждый вектор есть линейная комбинация векторов системы (2); то же, естественно, имеет место и для каждого вектора , где , т. е. для каждого вектора . Итак, множество всех векторов (2) есть система образующих пространства .

Докажем, что эта система линейно независима и, следовательно, есть базис пространства так как число векторов (2) есть — то формула (1) этим будет доказана.

Итак, пусть

Требуется доказать, что

Полагаем

так что и переписываем (3) в виде

откуда следует, что вектор w является линейной комбинацией векторов и, значит, содержится и в . Поэтому , так что

Из (4) и (6) следует, что

Так как система векторов лииейно независима (она есть базис пространства ), то все коэффициенты в равенстве (7) равны нулю, так что, в частности,

и равенство (3) принимает вид

Система векторов (являясь базисом пространства Щ) линейно независима, поэтому

что вместе с (8) дает нам искомое равенство (30). Формула (1) доказана.

Определение. Алгебраическая сумма

Двух подпространств (пространства ) называется прямой суммой этих подпространств, если пересечение состоит из одного нулевого вектора , следовательно, имеет размерность .

Для прямой суммы (9) формула (1) превращается в

Имеет место следующая

Теорема 10. Если сумма (9) прямая, то для каждого вектора существует единственное представление в виде

В самом деле, если бы существовало два представления этого вида

то было бы их и, значит,

Вектор отличен от нуля (иначе оба представления совпадали бы); содержится и в (так как ), (так как ) вопреки предположению, что состоит лишь из нулевого вектора.