§ 5. Алгебраическая (в частности, прямая) сумма подпространств
Пусть 
— два подпространства пространства 
их объединение 
(т. е. множество векторов, принадлежащее хотя бы одному из двух пространств 
порождает подпространство 
, состоящее из всех векторов и вида 
, где 
пространство 
называется (алгебраической) суммой пространств 
и обозначается через 
Обозначим через D пересечение подпрострамств 
(т. е. множество 
всех векторов, содержащихся и в 
). Множество D есть векторное пространство (подпространство пространства 
и каждого из пространств 
). Это следует из того, что всякая линейная комбинация 
любых векторов их, 
, принадлежащих множеству содержится как в 
, так и в 
, значит, 
в D. Обозначим размерность пространства D через d (мы уже обозначили через 
размерность пространств 
). Докажем важную формулу
Пусть 
— произвольный базис пространства D; будучи линейно независимой системой векторов, лежащих как в пространстве 
, так и в пространстве 
, система их, 
может быть дополнена до базиса их, 
пространства 
и до базиса их, 
пространства 
.
Рассмотрим систему векторов
Каждый вектор есть линейная комбинация векторов
, каждый вектор есть линейная комбинация векторов их, 
значит, каждый вектор 
есть линейная комбинация векторов системы (2); то же, естественно, имеет место и для каждого вектора 
, где 
, т. е. для каждого вектора 
. Итак, множество всех векторов (2) есть система образующих пространства 
.
Докажем, что эта система линейно независима и, следовательно, есть базис пространства 
так как число векторов (2) есть 
— то формула (1) этим будет доказана.
Итак, пусть
Требуется доказать, что
Полагаем
так что 
и переписываем (3) в виде 
откуда следует, что вектор w является линейной комбинацией векторов 
и, значит, содержится и в 
. Поэтому 
, так что
Из (4) и (6) следует, что
Так как система векторов 
лииейно независима (она есть базис пространства 
), то все коэффициенты в равенстве (7) равны нулю, так что, в частности,
и равенство (3) принимает вид
Система векторов 
(являясь базисом пространства Щ) линейно независима, поэтому
что вместе с (8) дает нам искомое равенство (30). Формула (1) доказана.
Определение. Алгебраическая сумма
Двух подпространств (пространства 
) называется прямой суммой этих подпространств, если пересечение 
состоит из одного нулевого вектора 
, следовательно, имеет размерность 
.
Для прямой суммы (9) формула (1) превращается в
существует единственное представление в виде
и, значит,
отличен от нуля (иначе оба представления совпадали бы); 
содержится и в 
(так как 
), 
(так как 
) вопреки предположению, что 
состоит лишь из нулевого вектора.