§ 5. Алгебраическая (в частности, прямая) сумма подпространств
Пусть
— два подпространства пространства
их объединение
(т. е. множество векторов, принадлежащее хотя бы одному из двух пространств
порождает подпространство
, состоящее из всех векторов и вида
, где
пространство
называется (алгебраической) суммой пространств
и обозначается через
Обозначим через D пересечение подпрострамств
(т. е. множество
всех векторов, содержащихся и в
). Множество D есть векторное пространство (подпространство пространства
и каждого из пространств
). Это следует из того, что всякая линейная комбинация
любых векторов их,
, принадлежащих множеству содержится как в
, так и в
, значит,
в D. Обозначим размерность пространства D через d (мы уже обозначили через
размерность пространств
). Докажем важную формулу
Пусть
— произвольный базис пространства D; будучи линейно независимой системой векторов, лежащих как в пространстве
, так и в пространстве
, система их,
может быть дополнена до базиса их,
пространства
и до базиса их,
пространства
.
Рассмотрим систему векторов
Каждый вектор есть линейная комбинация векторов
, каждый вектор есть линейная комбинация векторов их,
значит, каждый вектор
есть линейная комбинация векторов системы (2); то же, естественно, имеет место и для каждого вектора
, где
, т. е. для каждого вектора
. Итак, множество всех векторов (2) есть система образующих пространства
.
Докажем, что эта система линейно независима и, следовательно, есть базис пространства
так как число векторов (2) есть
— то формула (1) этим будет доказана.
Итак, пусть
Требуется доказать, что
Полагаем
так что
и переписываем (3) в виде
откуда следует, что вектор w является линейной комбинацией векторов
и, значит, содержится и в
. Поэтому
, так что
Из (4) и (6) следует, что
Так как система векторов
лииейно независима (она есть базис пространства
), то все коэффициенты в равенстве (7) равны нулю, так что, в частности,
и равенство (3) принимает вид
Система векторов
(являясь базисом пространства Щ) линейно независима, поэтому
что вместе с (8) дает нам искомое равенство (30). Формула (1) доказана.
Определение. Алгебраическая сумма
Двух подпространств (пространства
) называется прямой суммой этих подпространств, если пересечение
состоит из одного нулевого вектора
, следовательно, имеет размерность
.
Для прямой суммы (9) формула (1) превращается в