§ 5. Полярная система координат в пространстве

Для ее определения необходимы следующие элементы (рис. 61): 1° Плоскость (называемая далее основной) с выбранной в ней полярной системой координат: начало О, полярная полуось (с положительным направлением ОЕ), масштаб, принимаемый в качестве единого масштаба для всех измерений отрезков во всем пространстве.

2° Выбор на пряной , перпендикулярной к основной плоскости, одного из двух ее ортов в качестве положительного (что дает нам на этой прямой систему координат с началом О).

Основная плоскость разбивает пространство на два полупространства; то из них, которое содержит положительный орт прямой , считаем положительным.

Теперь для каждой точки М пространства (не лежащей на прямой ) определяются ее координаты в данной системе полярных координат, а именно:

а) полярный радиус точки М, т. е. длина вектора , имеем всегда ; только для точки имеем

б) долгота точки М — это полярный угол ортогональной проекции точки М на основную плоскость относительно данной в этой плоскости полярной системы коордииат; долгота изменяется в пределах

в) широта точки угол между вектором ОМ и его проекцией на основную плоскость, считаемый положительным, для точек М положительного полупространства и отрицательным, для точек отрицательного полупространства.

Рис. 61.

Та же полярная система координат в пространстве позволяет каждой точки М пространства определить и так называемые

Цилиндрические координаты ее, а именно: полярные координаты основной плоскости) точки (проекции точки М на основную плоскость) и аппликату, или высоту точки М над основной плоскостью, т. е. координату точки (ортогональной проекции точки М на ось ) относительно системы координат, данной на этой прямой (рис. 62).

Полярная система координат в пространстве определяет прямоугольную систему, состоящую из прямоугольной системы , порожденной в основной плоскости заданной в ней полярной системой, и оси .

Рис. 62.

Читатель без труда докажет следующие соотношения, связывающие полярные координаты и прямоугольные координаты х, у, z в пространстве:

Эти формулы позволяют выразить х, у, z через и обратно.

Что касается соотношений между цилиндрическими и прямоугольными координатами точки М, то аппликата z в обеих этих системах одна и та же, а связь между и цилиндрической системы и х, у прямоугольной дается уже известными нам формулами: