ГЛАВА XXV. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ, БИЛИНЕЙНЫЕ И КВАДРАТИЧНЫЕ ФУНКЦИИ В ЕВКЛИДОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ. ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА

§ 1. Инвариантные подпространства и собственные векторы линейного оператора в любом векторном пространстве

Сведения о линейных операторах, изложенные в главе ХП, мы в этом параграфе дополним некоторыми дальнейшими предложениями; имеют место в любых векторных пространствах, но в этих лекциях будут рассматриваться лншь главным образом в применении к пространствам с евклидовой метрикой.

Определение 1. Пусть А — линейный оператор в векторном пространстве Подпространство пространства называется инвариантным подпространством для оператора А, если для любого вектора имеем (т. е. еелн оператор А отображает пространство в себя ).

Рассмотрим, в частности, случай одномерного инвариантного подпространства . Тогда для всякого вектора и имеем Ли т. е.

где — некоторое вещественное число.

Определение 2. Всякий отличный от нуля вектор , удовлетворяющий равенству (1) (при некотором числе ), называется собственным вектором оператора А, а число (однозначно определенное равенством ) называется собственным значением оператора А, соответствующим данному собственному вектору .

Замечание. Про собственный вектор , удовлетворяющий равенству (1) при данном , говорят, что он соответствует собственному значению . При этом из самого условия (1) следует, что каждый собственный вектор оператора А соответствует лишь одному собственному значению, тогда как данному собственному значению соответствует бесконечное множество коллинеарных между собою собственных векторов, но могут соответствовать и линейно независимые между собою собственные векторы.

Мы видим, что каждый (отличный от нуля) вектор одномерного инвариантного подпространства (данного оператора А) есть собственный вектор оператора А. Очевидно и обратное: одномерное подпространство, порожденное данным собственным вектором оператора А, есть инвариантное подпространство этого оператора.

Непосредственно из определения собственных векторов вытекает следующее предложение:

Если базис пространства состоит из собственных векторов данного оператора А, соответствующих собственным значениям

то в этом базисе оператор А имеет матрицу А диагонального вида:

Обратно, если в некотором базисе матрица оператора имеет вид (2), то являются собственными векторами оператора А, а суть соответственно их собственные значения.

В этой главе мы до конца выясним вопрос о тех линейных операторах евклидова пространства, матрица которых в некотором ортонормальном базисе имеет вид (2), для которых, другими словами, можно найти ортонормальный базис пространств, состоящий из собственных векторов.

Но пока мы рассматриваем еще произвольное векторное пространство и в нем произвольный линейный оператор А. Будем разыскивать собственные векторы и собственные значения этого оператора и, следовательно, его одномерные инвариантные подпространства. Мы увидим, что если оператор А не имеет инвариантного одномерного подпространства (а значит, не имеет собственных векторов), то он имеет инвариантное подпространство размерности 2.

Выберем в пространстве какой-нибудь базис относительно которого оператор А имеет матрицу

Тогда для вектора с координатами вектор Ли будет иметь координаты

Условие для того, чтобы вектор и был собственным вектором с собственным значением , есть

расписывая это условие покоординатно, получим уравнения

т. e. уравнения

Это — система однородных линейных уравнений относительно координат вектора и; нас интересуют лишь ненулевые векторы — решения системы (5); они существуют тогда и только тогда, когда детерминант системы (5) равен нулю, т. е. когда Я удовлетворяет уравнению стененн

Обозначим детерминант, составляющий левую часть уравнения (6), через . Значок при поставлен потому, что мы построили детерминант, пользуясь базисом .

Очевидно,

Докажем, что в действительности многочлен от выбора базиса пространства не зависит, т. е. что для любого другого базиса пространства имеем

Пусть матрица перехода от базиса к базису есть (невырождающаяся) матрица С. Относительно базиса оператор А имеет матрицу

так что

и

чем наше утверждение доказано.

Итак, многочлен степени

не зависит от выбора того или иного базиса пространства т. е. от того, какой именно матрицей А записан данный оператор А, он зависит лишь от самого этого оператора и потому называется характеристическим многочленом оператора А. Уравнение (6), т. е. уравнение называется характеристическим уравнением оператора А (и матрицы А, представляющей этот оператор в любом базисе ); корни уравнения (6) называются характеристическими числами оператора А и его матрицы А.

Каждое число , являющееся собственным значением какого-либо собственного вектора оператора А, есть корень характеристического многочлена , т. е. характеристическое число оператора А. Обратно, если есть корень уравнения (6), то, подставляя его в уравнения (5), сможем получить ненулевое решение системы уравнений (5), т. е. собственный вектор оператора А, соответствующий собственному значению . Поэтому характеристические числа оператора А являются собственными значениями; однако при этом надо помнить, что только вещественные характеристические числа соответствуют вещественным решениям системы (5), т. е. вещественным векторам пространства являющимся собственными векторами для данного оператора А.

Так, мы уже упоминали, что преобразование плоскости, записывающееся в прямоугольной системе координат равенствами

(вращение вокруг начала координат), не имеет (вещественных) собственных векторов; но оно имеет мнимые характеристические числа — корни уравнения

а именно:

Во всяком случае все корни, равно как все коэффициенты, многочлена не зависят от выбора базиса они, как говорят, являются инвариантами оператора А (т. е. числами, определенными, как скоро задан сам оператор А).

Теорема 1. Всякий линейный оператор А в векторном пространстве имеет инвариантное подпространство размерности 1 или 2.

Доказательство. Если характеристический многочлен оператора А имеет хотя бы один вещественный корень, то этот оператор имеет хотя бы один собственный вектор, а следовательно, имеет и одномерное инвариантное подпространство (этим вектором порожденное).

Требуется доказать, что если среди корней многочлена нет вещественных, то оператор А имеет двумерное инвариантное подпространство. Это вытекает из следующего вспомогательного предложения.

Лемма. Если есть корень многочлена то существуют два линейно независимых вектора и им, которые в своей совокупности порождают инвариантное подпространство оператора А (имеющее, очевидно, размерность 2).

Итак, остается доказать лишь лемму.

Берем какой-нибудь базис пространства и подставляем в уравнения (5) значение . Тогда этим уравнениям удовлетворяет набор комплексных чисел

которые не все равны нулю. Отсюда уже следует, что из векторов

по крайней мере один отличен от нуля; то, что они оба отличны от нуля и, более того, линейно независимы, будет доказано несколькими строками ниже. Набор комплексных чисел есть решение системы (5) при так что имеет место система числовых тождеств

Приравнивая в этих тождествах соответственно их вещественные и мнимые части, получаем, во-первых, систему тождеств

во-вторых, систему тождеств

т. е.

Другими словами, векторы и принадлежат векторному подпространству порожденному векторами и v. Докажем, что и , и v отличны от нуля. Предположим, что тогда, по доказанному, Вставляя значения и v в первое равенств (10), получим

и так как то что противоречит условию леммы.

Пусть теперь и, следовательно, тогда из второго равенства (10) получим

откуда снова — вопреки условию леммы.

Докажем, наконец, что векторы и v линейно независимы. Предположим противное, тогда при некотором 40 и равенства (10) принимают вид

Переписывая второе из этих равенств в виде

и вычитая из него первое равенство (10), получим

откуда снова следует что противоречит условию леммы. Лемма, а следовательно, и теорема 1 доказаны.