§ 8. Взаимно сопряженные векторы (направления). Диаметры и касательные

1. Взаимно сопряженные векторы. Особое направление. Диаметр, сопряженный направлению имеет направляющий вектор где

Векторы связаны соотношением

получающимся, если почленно сложить уравнения (1), предварительно умножив обе части первого из них на а второго — на . Но левая часть равенства (2) есть не что иное, как симметричная билинейная форма , полярная к квадратичной форме

Поэтому естественно ввести следующее

Определение.

Ненулевые векторы (а также определяемые ими направления ) называются взаимно сопряженными относительно квадратичной формы если они удовлетворяют уравнению

Заметим прежде всего: при переходе от координатной системы к произвольной новой координатной системе билинейная форма переходит в билинейную форму выражающую ту же билинейную функцию , полярную к квадратичной функции , записывающейся в координатной системе в виде квадратичной формы и в координатной системе в виде . Поэтому билинейная функция , обращение в нуль которой характеризует сопряженность векторов , в любой координатной системе записывается в виде билинейной формы, полярной к квадратичной форме старших членов уравнения определяющего в этой системе координат данную кривую второго порядка. Свойство двух векторов быть или не быть сопряженными относительно формы не зависит от выбора той или иной системы координат, а зависит только от квадратичной функции определенной (в какой-нибудь системе координат) формой

Мы будем также говорить, что векторы (и их направления) сопряжены относительно данной кривой второго порядка, если они сопряжены относительно квадратичной формы старших членов уравнения этой кривой (в какой-нибудь, все равно в какой именно, системе координат). Это позволяет нам в дальнейшем писать условие сопряженности, пользуясь какой-нибудь определенной, например канонической для данной кривой, системой координат.

Зная одно из двух сопряженных направлений, например направление другое определяем без труда; для этого переписываем равенство (2) в виде

что означает пропорцию

определяющую направление вектора . Точно так же выражается через

Посмотрим, когда два сопряженных между собою направления совпадают. Очевидно, тогда и только тогда, когда

т. е. когда

Другими словами, направление тогда и только тогда совпадает со своим сопряженным, когда оно является асимптотическим. Поэтому асимптотические направления называются иначе самосопряженными.

Посмотрим, не может ли случиться, что направление сопряженное направлению перестанет быть определенным. В этом случае направление назовем особым.

Очевидно, направление будет особым тогда и только тогда, когда оно удовлетворяет системе уравнений

Но вектор не есть нулевой вектор, поэтому равенства (3) могут иметь место, лишь если

т. е. если кривая параболическая.

Но это еще не все: умножая обе части первого из уравнений (3) на , а второго — на и складывая, получаем

т. е. направление есть асимптотическое направление.

Итак, только для параболической кривой и для (единственного) ее асимптотического направления сопряженное направление перестает быть определенным.

С другой стороны, единственное асимптотическое направление

параболической кривой удовлетворяет условиям

т. е. условию

для любого направления

Итак, в случае параболической линии ее асимптотическое направление сопряжено всякому направлению, т. е. является особым.

Вернемся теперь — в случае любой кривой второго порядка уравнению (2) § 7:

т. е. к уравнению диаметра, сопряженного направлению

Какова бы ни была кривая второго порядка ее диаметр, сопряженный направлению имеет направление сопряженное направлению .

Если кривая центральная, то диаметр, сопряженный направлению будет иметь направление .

Два диаметра центральной кривой называются взаимно сопряженными между собою, если сопряжены их направления. Каждый из двух сопряженных между собою диаметров делит пополам хорды, параллельные другому (рис. 174, рис. 175).

Рис. 174.

Рис. 175.

Переходим к параболическому случаю. Если данная кривая распадается на пару параллельных прямых, то у нее — один единственный диаметр («средняя» прямая по отношению к двум данным); этот диаметр является геометрическим местом середин хорд любого направления, он является прямой центров нашей кривой (1), его направление — особое, оно сопряжено любому направлению (рис. 176).

У параболы середины всех хорд данного направления лежат, как мы видели, на вполне определенной прямой, и прямая эта имеет асимптотическое направление , она является диаметром параболы (сопряженным данному направлению ).

Докажем, что в случае параболы всякая прямая асимптотического направления есть диаметр, сопряженный некоторому вполне определенному направлению.

При доказательстве мы вправе выбрать любую систему координат; возьмем такую, в которой уравнение параболы имеет вид

Прямые асимптотического направления суть просто прямые, параллельные оси абсцисс. Пусть

(5)

— такая произвольная прямая (рис. 177).

Уравнение (2) § 7, т. е. уравнение диаметра, сопряженного направлению имеет в нашем случае вид

(6)

Для того чтобы оно определяло ту же прямую, что и уравнение (5), необходимо

Рис. 176.

Рис. 177.

и достаточно, чтобы чем отношение определено однозначно, и наше утверждение доказано.

Таким образом, диаметры параболы могут быть определены как прямые асимптотического направления.

Предположим, что выбрана прямоугольная система координат, каноническая для данной параболы. Для т. е. для направления, перпендикулярного к оси параболы, уравнение (6) дает т. е. ось параболы, которая является, таким образом, диаметром, сопряженным направлению, перпендикулярному к направлению оси.

Если мы теперь будем вектор вращать (начиная с положения но часовой стрелке (от оси ординат к оси абсцисс), то сопряженный ему диаметр, все время оставаясь горизонтальным, будет подниматься вверх, уходя в бесконечность; когда направление вектора станет горизонтальным (т. е. асимптотическим), сопряженный диаметр перестанет быть определенным, а при дальнейшем вращении вектора (по часовой стрелке) станет отрицательным (сначала очень малым по абсолютной величине), и наш диаметр (оставаясь горизонтальным) будет из бесконечных далей нижней полуплоскости подниматься вновь к оси абсцисс и совпадет с нею, когда вектор примет направление оси ординат (рис. 178).

Рис. 178.

Рассмотрим теперь случай эллипса и гиперболы, заданных их каноническими уравнениями

Соотношение сопряженности двух векторов запишем в виде

т. е.

или, полагая

(верхний знак — для эллипса, нижний — для гиперболы.)

Отсюда следует; угловые коэффициенты двух взаимно сопряженных диаметров имеют в случае эллипса противоположные, а в случае гиперболы — одинаковые знаки. А это означает, что два сопряженных диаметра лежат в случае эллииса в разных парах вертикальных координатных углов, а в случае гиперболы — в одинаковых.

Возьмем за начальное значение вектора единичный вектор оси абсцисс. Диаметр этого направления есть фокальная ось эллипса, а сопряженный ему диаметр — вторая ось. Будем вращать вектор (приложенный к центру эллипса, т. е. к началу координат) против часовой стрелки; направленный по этому вектору диаметр эллииса будет вращаться (находясь в первой и третьей четверти) от фокальной оси ко второй оси против часовой стрелки, а сопряженный ему диаметр — от второй оси к фокальной, тоже против часовой стрелки (рис. 179) — при вращении данного диаметра сопряженный ему будет от него убегать, вращаясь в том же направлении.

Рис. 179.

Рис. 180.

В случае гиперболы диаметр, сопряженный оси абсцисс (фокальной оси гиперболы), есть снова ось ординат, вторая ось гиперболы, но если будем вращать прямую начиная с положения против часовой стрелки, то сопряженный диаметр -так как он должен лежать в тех же координатных углах, что и данный диаметр — должен вращаться в противоположном направлении — при вращении данного диаметра вокруг центра гиперболы сопряженный диаметр бежит ему навстречу. При этом, когда е. когда прямая вращаясь против часовой стрелки, приближается к асимптоте), то k тоже - оба со пряженных диаметра неограниченно приближаются к асимптоте (каждый со своей стороны) (рис. 180).

2. Диаметры и касательные. Теорема 8. Диаметр, проходящий через какую-нибудь заданную точку не распадающейся кривой второго порядка, сопряжен направлению касательной к этой кривой в данной ее точке.

Рис. 181.

Доказательство. На кривой берем точку Существует единственный диаметр, проходящий через эту точку; если кривая центральная (рис. 181, а и б), то этим диаметром является прямая, соединяющая точку с центром; если кривая — парабола (рис. 181, в), то ее диаметром, проходящим через точку будет прямая (единственного) асимптотического направления, проходящая через эту точку.

Диаметр, сопряженный какому-нибудь направлению имеет уравнение .

Если диаметр проходит через точку то имеет место тождество

т. е.

но это направление есть как раз направление касательной к кривой в точке что и требовалось доказать.

Прилагаемый рис. 181 иллюстрирует теорему, когда кривая является соответственно эллипсом, гиперболой или параболой.