ЗАДАЧИ

К главам I, II, III

Задача 1. Говорят, что пара точек С, D гармонически разделяет пару точек А, В, если четыре точки А, В, С, D лежат на одной прямой и

Доказать, что если пара точек С, D гармонически разделяет пару точек А, В и Е — середина отрезка CD, то точка Е лежит вне отрезка АВ.

Доказательство. Пусть — координаты точек А, В в какой-нибудь системе координат, введенной на прямой АВ. Тогда, обозначая соответственно через коордиваты точек С, D, Е в той же системе и полагая , будем иметь:

и

Итак,

Это равенство показывает, что точка Е делит отрезок А В в отношении — откуда следует, что точка Е лежит вне отрезка АВ.

Задача 2. Доказать: для того чтобы два вектора АВ и CD (лежащие на прямой, на плоскости или в пространстве) были равны, необходимо и достаточно, чтобы середины отрезков AD и ВС совпадали.

Доказательство необходимости. Пусть и О — середина отрезка AD. Докажем, что О будет также серединой отрезка ВС.

Так как О — середина AD, то . Чтобы установить, что О является серединой отрезка ВС, надо показать, что . Но

Таким образом,

т. е. О — середина ВС.

Доказательство достаточности. Пусть середины отрезков ВС и AD совпадают в точке О, т. е.

Докажем, что

Задача 3. Даны радиусы-векторы двух точек А и В (прямой, плоскости или пространства). Найти радиус-вектор точки М, делящей направленный отрезок АВ в данном отношении .

Решение. , откуда

и, следовательно,

В частности, если то

т. е. радиус-вектор середины отрезка равен полусумме радиусов-векторов его концов.

Задача 4. Доказать, что: 1) отрезки, соединяющие середины противоположных ребер тетраэдра, имеют общую точку и делятся в этой точке пополам; 2) эта же точка является общей для отрезков, соединяющих вершины тетраэдра с центрами тяжести противоположных граней, причем она делит эти отрезки в отношении считая от вершины.

Доказательство. Пусть О — произвольная точка пространства. Рассмотрим векторы:

идущие из точки О в вершины тетраэдра ABCD.

1) Пусть Е и - середины ребер АВ и а М — середина отрезка EF, тогда

Из симметрии выражения для относительно векторов идущих из точки О в вершины тетраэдра, заключаем, что точка М будет серединой отрезков, соединяющих середины двух других пар противоположных ребер тетраэдра.

2) Пусть К — точка пересечения медиан грани ABC. Тогда

Обозначим через N точку направленного отрезка DK, делящую его в отношении Тогда для вектора получим выражение

Отсюда видно, что точка N совпадает с точкой М и что она одна и та же для всех отрезков, соединяющих вершины тетраэдра с центрами тяжести противоположных граней.

Задача 5. Доказать, что сумма векторов, идущих из центра правильного многоугольника в его вершины, равна нулю.

Доказательство. Пусть — правильный -угольник, О — его центр. Требуется доказать, что

Повернем фигуру, составленную из отрезков вокруг точки О, как твердое тело, на центральный угол многоугольника. Тогда, с одной стороны, сумма векторов , не меняя своей длины, повернется в том же направлении и на тот же угол. С другой стороны, эта сумма не должна измениться, так как после поворота мы получим ту же систему векторов, что и прежде. Вектор совместится с вектором вектор совместится с вектором вектор совместится с вектором . Из сопоставления двух утверждений относительно суммы следует, что она равна нулю.

Задача 6. Дан правильный шестиугольник ABCDEF. Принимая за начало аффинной системы координат вершину А, за единичный вектор оси абсцисс — вектор АВ, а за единичный вектор оси ординат — вектор АС, найти в этой системе координаты вершин шестиугольника.

Решение.