§ 2. Положительно определенные симметричные билинейные функции в векторном пространстве

Предположим, что в -мерном векторном пространстве дана положительно определенная симметричная билинейная функция Значит, для любого вектора и имеем . Как известно (из § 5 гл. XIII), существует базис пространства относительно которого записывается в виде канонической билинейной формы:

Мы сейчас дадим новое доказательство этой теоремы, не опирающееся на теорию квадратичных форм.

Замечание 1. Во всей главе мы под всегда будем понимать положительно определенную симметричную билинейную функцию.

Лемма 1. Для того чтобы относительно данного базиса функция записывалась в виде (1), необходимо и достаточно, чтобы было

В самом деле, пусть базис удовлетворяет условию (2). Тогда, вследствие билинейности функции имеем

Обратно, пусть относительно базиса функция записывается в виде (1). Подставив в (1) векторы и помня, что относительно базиса вектор , - имеет координату а координаты при а вектор -координату и ПРИ видим, что формула (1) переходит в т. е. в формулу (2).

Назовем теперь векторы u, v ортогональными между собою (относительно функции ), если совокупность векторов и назовем ортогональной, если при любые два вектора этой совокупности ортогональны; если при этом , то совокупность векторов называется ортонормальной.

В частности, базис называется ортонормальным относительно функции если он удовлетворяет условию (2).

Лемма 2. Всякая ортогональная (относительно функции ) совокупность отличных от нуля векторов их, пространства линейно независима значит,

В самом деле, пусть

Требуется доказать, что (при любом ).

Так как то что и требовалось доказать.

В силу леммы 1 наша задача — построить для данной функции базис, в котором она принимает вид (1), — равносильна доказательству следующего предложения.

Теорема 1. В векторном пространстве существует базис, ортонормольный относительно любой наперед заданной положительно определенной симметричной билинейной функции

Доказательство. Пусть в векторном пространстве дан какой-нибудь базис . Мы прежде всего построим попарно ортогональные между собою отличные от нуля векторы являющиеся линейными комбинациями векторов их, Построение будет вестись по индукции. Положим . Ищем теперь такое число чтобы вектор

был ортогонален к вектору т. е. чтобы

Так как то из условия

число определяется однозначно:

и векторы линейно независимы, то .

Предположим теперь, что построена ортогональная система отличных от нуля векторов являющихся линейными комбинациями векторов . При любых вектор

является, очевидно, линейной комбинацией векторов и, значит, линейной комбинацией векторов

при этом вектор входит в линейную комбинацию (3) с тем же коэффициентом 1, с которым он входил в комбинацию (3); это происходит от того, что векторы суть линейные комбинации одних лишь векторов .

Найдем теперь такие чтобы вектор (3) был ортогонален к каждому из векторов т. е. чтобы для каждого выполнялось условие

условие (4) может быть записано в виде

откуда и определяется однозначно Остается доказать, что . В линейную комбинацию (3) вектор входит с коэффициентом 1; поэтому (3) есть нетривиальная линейная комбинация линейно независимых между собою векторов значит, . Индукция заканчивается на построением ортогональной (значит, линейно независимой) системы векторов в -мерном пространстве поэтому есть ортогональный базис пространства Положим, наконец, при .

Тогда

— базис является ортонормальным, и теорема 1 доказана.

Замечание 2. Если векторы их, уже являются попарно ортогональными, то наше построение автоматически дает

В самом деле, . Предположим, что равенства доказаны для где Докажем, что

В наших предположениях равенство (3), определяющее вектор превращается в

а условия (4) для определения — в

Но так как то ; кроме того, , так что означает просто, что всех Мы доказали следующее

Добавление к теореме 1. Всякую ортогональную (орто нормальную) относительно данной функции систему векторов пространства можно дополнить до базиса пространства ортогонального (ортонормального) относительно функции .

Замечание 3. Описанный выше переход от произвольного базиса пространства к базису ортогональному (относительно некоторой функции ) принято называть ортогонализацией (базиса их, ).

Этот процесс ортогонализации с различными его обобщениями имеет в математике очень большие и разнообразные применения.

Теорема 2. Пусть базис пространства ортонормален относительно функции Для того чтобы базис , также был ортонормален (относительно той же функции), необходимо и достаточно, чтобы патрица перехода от базиса была ортогональной.

В самом деле, пусть

Тогда

Поэтому условие тождественно с условием т. е. с условием ортогональности матрицы

чем теорема 2 доказана.

Так как матрица А является матрицей линейного переводящего базис в базис то мы можем сформулировать теорему 2 и следующим образом.

Теорема 2. Все ортогональные матрицы и только они являются матрицами линейных преобразований, переводящих один ортонормальный (относительно какой-нибудь функции ) базис пространства в другой ортонормальный (относительно той же функции) базис.

Перефразированной теоремой 2 является

Теорема Совокупность всех базисов пространства относительно данной функции или, что то же, базисов, в которых функция принимает канонический вид (1), есть некоторый класс ортогонально эквивалентных между собою базисов пространства

Обратно: пусть в пространстве выбран некоторый класс К ортогонально эквивалентных базисов. Возьмем какой-нибудь из этих базисов и зададим симметричную положительно определенную билинейную функцию, положив

Тогда во всех базисах принадлежащих к классу К (и только в этих базисах), функция будет иметь каноническое представление

так что класс ортонормальных (относительно функции ) базисов есть не что иное, как первоначально данный класс К: