ГЛАВА XI. ДВИЖЕНИЯ И АФФИННЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ

§ 1. Определение движений и аффинных преобразований

Мы уже имели дело с движениями, а именно со сдвигами и поворотами реперов, воспринимавшихся при этом как твердые тела, прочно сваренные из составляющих их стержней — векторов. Однако, наряду с этим, привычным из начального курса механики восприятием движения, мы иногда говорили о движении и в более абстрактном, собственно геометрическом смысле слова: так, еще в главе II шла речь о сдвиге всего пространства на некоторый вектор и как о преобразовании пространства, при котором каждой точке пространства ставится в соответствие точка М — конец приложенного к точке М вектора

В главе VIII мы упоминали о повороте всей плоскости (в себе) вокруг данной ее точки О на некоторый угол; в главе IX мы в аналогичном смысле говорили и о вращении пространства вокруг данной прямой. Читателю, несомненно, известны также и простейшие несобственные движения плоскости и пространства — это зеркальные отражения, или симметрии плоскости (соответственно пространства), относительно какой-нибудь прямой (соответственно какой-нибудь плоскости) — преобразования, заключающиеся в том, что каждой точке М ставится в соответствие точка М, симметричная к точке М относительно данной прямой на плоскости (или данной плоскости в пространстве).

Теперь мы даем строгое

Определение. Движением плоскости (пространства) называется всякое преобразование, которое может быть задано следующим образом. Берется некоторый (произвольный) «исходный» прямоугольный репер на плоскости (соответственно прямоугольный репер в пространстве); наряду с ним задается «новый» прямоугольный репер (соответственно ) с тем же масштабом, что и первый.

Этими данными определяется преобразование плоскости (пространства), состоящее в том, что каждой точке М ставится в соответствие точка М, имеющая относительно второго репера те же самые координаты, которые точка М имела относительно исходного репера (рис. 137).

Если первый репер одноименен со старым, исходны, то движение называется собственным (рис. 137, а); в противном случае движение называется несобственным (рис. 137, б).

Рис. 137.

Замечание 1. Всякое фактическое перемещение репера как твердого тела в пространстве, происходящее, как этому учит механика, в течение некоторого промежутка времени (например, промежутка времени ), является частным случаем деформаций, рассмотренных нами в § 1 главы IX; мы видели, что посредством деформации данный ренер можно перевести лишь в репер, одноименный с ним. Отсюда следует, что посредством непрерывного процесса осуществимы лишь собственные движения пространства. То же, конечно, относится и к движениям плоскости, если их понимать как перемещения плоскости по ней самой: для того чтобы осуществить простейшее несобственное движение плоскости — симметрию относительно прямой, надо , плоскость в пространстве угол вокруг оси симметрии, т. е. выйти за пределы самой плоскости.

Из определения движения сразу следует, что при движении сохраняется расстояние между любыми двумя точками. В самом деле, пусть даны какие-нибудь две точки и своими координатами в исходной системе координат . Расстояние между ними есть число

При данном движении точки переходят в точки , имеющие те же координаты , соответственно , но только в новой системе координат . Так как эта новая система тоже прямоугольна и имеет тот же масштаб, что и старая, то расстояние между точками и выражается (в той же единице длины) тем же числом

что и расстояние между точками .

В § 6 этой главы будет показано, что всякое преобразование плоскости (и пространства), сохраняющее расстояние между любыми двумя точками, есть движение, а в § 8 мы увидим, что никаких движений плоскости (собственных или несобственных), кроме упомянутых выше, не существует.

На неизбежно возникающий вопрос:

Что получится с нашим определением движений, если отказаться от требования прямоугольности систем координат, в это определение входящих? -

отвечаем:

получится определение аффинных преобразований.

Итак, пусть снова в плоскости (в пространстве) задана — на этот раз совершенно произвольная аффинная — система координат (соответственно ).

Рис. 138.

Если, наряду с этой («старой», или «исходной») системой координат, задать также совершенно произвольную «новую» аффинную координатную систему (соответственно ), то определится преобразование, состоящее в том, что каждой точке М плоскости {соответственно пространства) ставится в соответствие точка , которая в новой координатной системе имеет те самые координаты, какие точка М имела в старой системе (рис. 138 и 139).

Преобразование, которое может быть задано этим способом, Называется аффинным. Очевидно, движения являются частным случаем аффинных преобразований.

Рис. 139.

Рисунки 138 и 139, а также сделанный на их основе рис. 140 помогут читателю составить себе наглядное представление о том, что может происходить при аффинном преобразовании.

Замечание 2. Если исходный репер считать раз навсегда данным, то возможные аффинные преобразования плоскости (пространства) взаимно однозначно соответствуют различным реперам (соответственно ), которые можно выбрать на плоскости (соответственно в пространстве). Тем из этих реперов, которые одноименны с исходным, соответствуют аффинные преобразования, называемые собственными; реперы, не одноименные с исходным репером, определяют несобственные аффинные преобразования. Мы увидим в § 5, что вопрос о том, является ли данное аффинное преобразование собственным или несобственным не зависит от выбора исходного репера , следовательно, выражает свойство самого преобразования).

Следующее замечание при всей своей очевидности имеет некоторую принципиальную важность.

Замечание 3.

Совершенно так же, как мы определяли аффинное преобразование плоскости (т. е. аффинное взаимно однозначное отображение плоскости на себя), мы можем определить взаимно однозначное аффинное отображение одной плоскости на другую плоскость : для того чтобы задать такое отображение, надо взять два репера: репер в плоскости и репер в плоскости (рис. 141).

Определяемое этими даннымн отображение — аффинное отображение плоскости на плоскость — состоит в том, что каждой точке М плоскости ставится в соответствие та точка М плоскости , которая относительно репера имеет те же самые координаты, которые точка М имела относительно репера .

Рис. 140.

Рис. 141.

Иногда приходится рассматривать и два экземпляра трехмерного пространства (например, два трехмерных подпространства -мерного арифметического пространства), и тогда необходимо определять аффинное отображение одного из них на другое совершенно так же, как мы только что определили аффинное отображение одной плоскости на другую. Все эти рассуждения получат полную стройность, когда мы в главе XIV займемся во всей общности -мерным аффинным пространством.