§ 3. Сопряженные направления

Пусть дана поверхность второго порядка, определенная в некоторой аффинной системе координат уравнением

Квадратичная форма определяет свою полярную билинейную форму, а через нее — билинейную функцию от двух векторов: если — два произвольных вектора, заданных своими координатами в выбранной нами системе координат :

то

Билинейная функция не зависит от выбора системы координат: если мы возьмем другую систему координат , то векторы получат координаты соответственно а форма перейдет в форму причем если векторы имели в координатных системах и соответственно координаты

так что имеет место тождество

В частности, если для каких-нибудь двух векторов имеем то этот факт не зависит от того, как мы выбрали координатную систему, в которой задавалось уравнение (1) поверхности.

Определение. Два вектора называются сопряженными относительно поверхности (1) (или относительно квадратичной формы старших членов уравнения этой поверхности в любой системе координат), если для этих векторов

Если векторы заданы в системе координат своими координатами

то условие их сопряженности записывается так:

Из симметрии условий (3) относительно векторов следует, что сопряженность двух векторов есть понятие взаимное, не зависящее от порядка, в котором рассматриваются векторы.

Очевидно, далее, что вектор сопряженный векторам сопряжен и любой их линейной комбинации .

Отсюда, в частности, вытекает, что из сопряженности векторов их и следует и сопряженность любых векторов т. е. любых векторов, имеющих соответственно те же направления, что и векторы и Поэтому мы говорим, что два направления сопряжены между собою, если вектор одного из этих направлений сопряжен вектору другого.

Из равенства (3), далее, очевидно, вытекает, что особое направление сопряжено всякому направлению Верно и обратное предложение: если направление сопряжено всякому направлению то оно является особым. Это вытекает из следующего предложения.

VII. Если не особое направление, то сопряженными ему являются те и только те направления которые лежат в плоскости, сопряженной направлению .

В самом деле, уравнение плоскости, сопряженной направлению есть

где

Всякий вектор лежащий в этой плоскости, и только такой вектор удовлетворяет условию

которое как раз и есть условие сопряженности вектора вектору

Из доказанного следует, что свойство направления быть или не быть особым относительно данной поверхности (данной квадратичной формы ) не зависит от выбора той или иной системы координат.

Более подробно. Пусть, наряду с координатной системой , дана координатная система , при переходе к которой многочлен

(1)

преобразуется в

так что форма

преобразуется в

Пусть вектор и имеет в системе координат координаты , а в системе координат координаты .

Если при этом оказывается, что координаты вектора и в системе удовлетворяют уравнениям особого направления (относительно формы )

то координаты того же вектора и в системе будут удовлетворять уравнениям

Это очень важный факт, которым мы вскоре воспользуемся. Из пего вытекает, что вполне законно было воспользоваться для определения особых направлений поверхностей данного типа (параболоидов, цилиндрических поверхностей и т. д.) их каноническими уравнениями, что мы и делали в предыдущем параграфе.