§ 6. Центр кривой второго порядка

Пусть в произвольной аффинной системе координат дана кривая

и прямая

неасимптотического направления; обозначим через точки пересечения кривой (1) с прямой (2).

Решим следующую задачу: когда хорда, имеющая направление делится в точке пополам? Другими слонами, когда точка является серединой отрезка

Для этого, очевидно, необходимо и достаточно, чтобы было

Но

Подставляя эти значения в (3), получаем

т. е.

Так как (как координаты направляющего вектора прямой ) не могут быть равны нулю одновременно, то условие (3) равносильно условию

Но и суть корни квадратного уравнения

значит, и условие (4) означает или

Это и есть условие для того, чтобы точка была отрезка т. е. хорды, высекаемой кривой (1) из прямой (2).

Определение центра. Напомним прежде всего, что точкой, имметричной точке относительно точки называется точка , обладающая тем свойством, что точка С есть середина отрезка ММ.

Координаты точки М однозначно определяются из условий . Точка С называется центром симметрии (или просто центром) данной линии, если, какова бы ни была точка , лежащая на этой линии, точка М, симметричная точке М относительно точки С, также лежит на данной линии (рис. 172).

Рис. 172.

Эти определения сохраняют силу и для комплексной плоскости.

Докажем следующее предложение.

Теорема 7. Для того чтобы точка была центром, кривой (1), необходимо и достаточно, чтобы координаты этой точки удовлетворяли следующим уравнениям (называемым ниями ):

Доказательство. А. Условие необходимо. Пусть есть центр кривой (1), и пусть хотя бы одно из двух чисел отлично от нуля. Приведем это предположение к противоречию. Рассмотрим равенство (5) как уравнение относительно . Переписывая его как пропорцию

видим, что оно удовлетворяется векторами лишь одного направления, а именно направления

Между тем для любого неасимптотического направления (а таковыми являются все направления, кроме двух) условие (5) должно быть выполнено (так как прямая (2) этого направления пересекает кривую (1) в двух точках и точка есть середина отрезка ).

Противоречие получено, необходимость нашего условия доказана.

Б. Условие достаточно. Пусть точка удовлетворяет условию (6). Перенесем начало координат в точку выполним преобразование координат

Оно переводит уравнение в уравнение , где

и

Но ввиду равенств (6) последнее уравнение имеет вид

В этом уравнении отсутствуют члены первой степени, откуда следует, что новое начало, т. е. точка есть центр симметрии нашей кривой. Теорема доказана.

Из доказанного вытекает, что в центральном случае, т. е. когда

кривая (1) имеет единственный центр симметрии координаты которого и находятся из уравнений (6).

Если центральная кривая задана своим уравнением в канонической системе координат, то начало координат и есть, как мы теперь знаем, единственный центр кривой.

Заметим вообще, что уравнения (6) имеют силу для любой аффинной системы координат. Поэтому для определения центра какой-либо кривой мы можем ограничиться рассмотрением ее уравнения в канонической для нее координатной системе.

Единственным центром пары пересекающихся прямых является их точка пересечения: это сразу следует из канонического уравнения

В параболическом случае мы имеем или параболу, ее каноническое уравнение есть

Или пару параллельных (в широком смысле) прямых

Для параболы, заданной уравнением (8), уравнения центра приобретают вид

Уже первое из этих уравнений противоречиво (так как поэтому система (10) несовместна — у параболы центра нет.

Для пары параллельных прямых, заданных уравнением (9), уравнения (6) имеют вид

Они определяют прямую все точки которой и являются центрами симметрии пары прямых (9), что очевидно и геометрически: пара параллельных прямых имеет прямую центров (это — средняя прямая между двумя данными).