§ 3. Аффинная эквивалентность линий и поверхностей

Пусть на плоскости выбрана аффинная система координат Мы знаем (гл. XI, § 1), что задать аффинное преобразование А плоскости — значит задать, наряду с исходным репером , новый репер аффинное преобразование А, определенное этим репером, ставит в соответствие каждой точке М точку , имеющую относительно репера те самые координаты, которые точка М имела относительно исходного репера

Рассмотрим теперь какую-нибудь линию, определенную (в исходной системе координат ) уравнением

При аффинном преобразовании А каждая точка М, лежащая на этой кривой, перейдет в точку М, лежащую на линии, имеющей то же уравнение (12), но уже относительно системы координат

В соответствии с этим мы говорим, что при аффинном преобразовании А кривая I, заданная уравнением (12) в системе координат , переходит в кривую II, заданную тем же уравнением, но в системе координат Оеез. Очевидно, кривая II переходит в кривую I при аффинном преобразовании обратном к преобразованию А.

Говорят также, что кривая II является образом кривой I при преобразовании А.

Определение. Две кривые I и II называются аффинно валентными, если одна из них переходит в другую при некотором аффинном преобразовании А.

Легко видеть (читатель должен это проверить), что отношение аффинной эквивалентности удовлетворяет условиям рефлексивности, симметрии и транзитивности. Поэтому, в частности, две кривые, аффинно эквивалентные одной и той же третьей, аффинно эквивалентны между собою.

Из сказанного выше непосредственно следует:

Пусть дана алгебраическая кривая I своим уравнением

в системе координат Тогда аффинно эквивалентными кривой I будут те и только те кривые II, которые в какой-нибудь системе координат имеют то же уравнение (12).

Пусть в плоскости дана система координат Тогда, как мы знаем, всякое аффинное отображение задается формулами

выражающими для каждой данной точки координаты у преобразованной точки М (в той же системе ).

Теперь легко решить задачу: пусть даиа кривая I своим уравнением (12) в координатной системе . Найти (в той же системе координат ) уравнение кривой II, в которую перейдет кривая I при данном аффинном преобразовании (2).

Решение просто: ведь надо найти уравнение, которому удовлетворяют связанные с х и у соотношениями (2), если эти х и у удовлетворяют уравнению (12). Искомое уравнение получится, если выразить и у через и у из (2) и подставить полученные значения в уравнение (12).

Пример. В какую кривую переходит при аффинном преобразовании

эллипс, заданный (в прямоугольной, канонической для него системе координат) уравнением

Для этого находим из (3)

и подставляем в (4). Получаем уравнение или Итак, при аффинном преобразовании (3) эллипс с уравнением (4) переходит в окружность

Попутно мы доказали важный факт:

Всякий эллипс аффинно эквивалентен окружности (следовательно, всякие два эллипса аффинно эквивалентны между собою).

Совершенно аналогично доказывается, что всякая гипербола

аффинио эквивалентна равнобочной гиперболе

Так как отношение аффинной эквивалентности двух кривых удовлетворяет условиям рефлексивности, симметрии и транзитивности, то оно порождает распадение любого множества кривых на «аффинные классы» таким образом, что две кривые из множества тогда и только тогда аффинно эквивалентны между собою, когда они принадлежат к одному и тому же аффинному классу.

Все сказанное o кривых можно повторить и в применении к поверхностям: если аффинное преобразование пространства задается переходом от репера к реперу то поверхность, заданная (в координатной системе ) уравнением

переходит в поверхность, имеющую то же уравнение, но уже в системе координат

Две поверхности называются аффинно эквивалентными, если одна из них переходит в другую при некотором аффинном преобразовании пространства; другими словами: те и только те поверхности аффинно эквивалентны поверхности, заданной (в некоторой координатной системе ) уравнением (13), которые в какой-нибудь координатной системе имеют то же уравнение (13).

Любое множество поверхностей разбивается на аффинные классы таким образом, что две поверхности, принадлежащие множеству тогда и только тогда аффинно эквивалентны между собою, когда они входят в один и тот же класс.

В следующей главе мы, в частности, решим задачу аффинной классификации кривых второго порядка, т. е. задачу перечисления всех аффинных классов, на которые распадается множество всех кривых второго порядка.

В главе XX мы решим аналогичную задачу аффинной классификации всех поверхностей второго порядка.