§ 8. Фокальный параметр эллипса и гиперболы. Уравнение при вершине

1. Фокальный параметр. Пусть С — эллипс или гипербола. Как раньше (в случае параболы), проведем через (какой-нибудь) фокус F кривой С прямую, перпендикулярную к ее фокальной оси. Эта прямая пересечет кривую С в двух точках и , расположенных «над» и «под» фокусом F. Длину полученной таким образом «фокальной» хорды РР обозначаем через величина называется фокальным параметром кривой С.

Фокальный параметр окружности, очевидно, равен ее радиусу. Возьмем каноническую для данной кривой С систему координат; тогда фокальный параметр кривой С равен модулю ординаты каждой из точек . Вычислим его.

Если кривая С есть эллипс с уравнением

то для любой точки этого эллипса

Подставляя сюда абсциссу фокуса F, т. е.

получим для ординат точек значения

Итак, фокальный параметр эллипса есть

Для точки гиперболы

имеем

Для получаем

Фокальный параметр гиперболы также есть

Вспомним, что мы нашли (§ 7) для расстояния А между фокусом и соответствующей директрисой как эллипса, так и гиперболы выражение

Теперь мы видим, что это расстояние А может быть выражено и через фокальный параметр:

и это выражение годится не только для эллипса и гиперболы, но и для параболы (для которой, как мы знаем, ). Таким образом, для всех наших кривых (кроме окружности) фокальный параметр может быть определен как число , где А — расстояние от фокуса до директрисы, а — эксцентриситет.

2. Уравнение при вершине. Объяснение названий «парабола», «эллипс», «гипербола». Воспользуемся фокальным параметром для , чтобы найти такую систему координат, в которой уравнения всех трех кривых (эллипса, гиперболы и параболы) имеют сходную форму.

Эта система координат имеет своим началом вершину кривой, а осью абсцисс — фокальную ось; для параболы эта система координат уже рассмотрена нами в § 1 под названием относительно этой системы парабола имеет уравнение .

Рис. 93.

В случае эллипса примем за начало новой системы координат "левую" вершину сохранив единичные векторы старой системы (т. е. системы, канонической для дайной кривой С (рис. ). Обозначая координаты какой-либо точки М в новой системе через имеем формулы перехода от старых координат х, у к новым (см, гл. III, § 2):

Подставляя эти значения в каноническое уравнение эллипса

получаем или, после очевидных преобразований,

т. е.

Но , так что уравнение (3) переписываем в виде

или, полагая

в виде

Пусть теперь кривая С есть гипербола

Переходим к новой системе координат, перенося начало канонической (для кривой С) системы в правую вершину гиперболы и сохраняя единичные векторы канонической системы (рис. 94).

Рис. 94.

Теперь

Подставляя это в уравнение гиперболы (6), получаем

или

таким образом (помня, что в случае гиперболы )

или, наконец (при обозначении (4)),

Итак, в надлежащим образом выбранной системе координат все три кривые — парабола, эллипс и гипербола — имеют уравнения одного и того же вида, а именно:

где — фокальный параметр кривой, а

(через , как всегда, обозначается эксцентриситет кривой).

Из этих обозначений следует, что для эллипса , для параболы и для гиперболы . Начало этой системы координат есть вершина кривой (левая для эллипса, правая для гиперболы), а ось абсцисс есть фокальная ось, направленная от (выбранной) вершины к (соответствующему) фокусу.

На рис. 95 изображены кривые семейства, состоящего из эллипсов, параболы и гипербол с общей вершиной, с общей фокальной осью, с одним и тем же фокальным параметром и эксцентриситетом , принимающим все возрастающие значения: начиная от нуля (окружность) до 1 (парабола) и далее (гиперболы).

Рис. 95.

Замечание. Геометры Древней Греции не владели методом координат и не знали аналитической геометрии; но свойства эллипса, гиперболы и параболы знали не хуже нас с вами; знания эти они получали методами так называемой синтетической геометрии, т. е. непосредственным геометрическим построением, определяя эти кривые — эллипс, гиперболу, параболу — как конические сечения, т. е. как плоские сечения круглого конуса (об этом определении см. гл. XVIII, § 3). Свойства наших кривых, выражаемые уравнением (5), греки также знали хорошо; но ордината у была для них половиной вертикальной (т. е. перпендикулярной к фокальной оси) хорды, одним из концов которой была данная точка P, а абсцисса этой точки была расстоянием от касательной, проведенной к кривой в ее вершине. Греческие геометры хорошо знали (и умели ценить) также и фокальный параметр конического сечения.

Они называли «приложением» данного квадрата к данному отрезку построение прямоугольника с данным основанием, равновеликого данному квадрату (т. е. фактически построение высоты этого прямоугольника).

Формула

и разрешает (для случая параболы) задачу приложения квадрата (при приведенном выше геометрическом истолковании ординаты произвольной точки у) к основанию (т. е. к фокальной хорде этой кривой) — высота искомого прямоугольника есть , т. е. расстояние от точки М до касательной в вершине. Так хорошо задача решается именно для параболы, отсюда и ее название: означает «нахождение чего-нибудь рядом», «приложение».

Для эллипса и гиперболы задача уже не проходит так гладко: нужен добавочный член , положительный (т. е. являющийся избытком, ) в случае гиперболы, отрицательный (т. е. являющийся недостатком ) в случае эллипса. Слова «гипербола» и «эллипс» и означают соответственно «избыток» и «недостаток».