§ 9. Несколько заключительных замечаний о линиях и поверхностях

Алгебраические линии и поверхности, определенные в этой главе, образуют весьма специальный класс среди линий и поверхностей, рассматриваемых в различных частях математики. Однако общий принцип определения линий и поверхностей посредством уравнений вида

на плоскости и

в пространстве находит применение в очень широких предположениях о функциях, образующих левую часть уравнений (1) и (2), и очень распространен в математическом анализе.

Каждый раз, когда определен какой-нибудь класс функций или соответственно от двух или трех переменных, можно определить посредством уравнений вида (1) и (2) и соответствующий класс линий на плоскости и поверхностей в пространстве. Так, например, можно рассматривать функции и , имеющие частные производные по всем своим аргументам, вплоть до данного порядка k, можно рассматривать бесконечно дифференцируемые функции и т. д.

Наиболее широким представляется класс линий и поверхностей, который получается, если от функций не требовать ничего, кроме их непрерывности; однако этот класс оказывается слишком обширным: если определять линии на плоскости как множество точек, координаты которых удовлетворяют уравнению где — любая непрерывная функция, то получаются и такие множества точек, которые никак не отвечают нашему наглядному представлению о линии; достаточно, например, рассмотреть на плоскости уравнение

- ему удовлетворяют все точки левой полуплоскости .

Предположим, мы определили тот или иной класс линий на плоскости, задав соответствующий класс «допустимых» функций . Имея в пространстве какую-нибудь систему координат в плоскости линию тем или иным уравнением (1), мы автоматически получаем и цилиндрическую поверхность, имеющую эту линию своим основанием, с образующими, параллельными оси эта поверхность состоит из всех точек пространства, координаты которых удовлетворяют уравнению (1).

Итак, понятие цилиндрической поверхности можно не ограничивать требованием, чтобы кривая, лежащая в основании цилиндра, была алгебраической.

Аналогичное замечание можно сделать и о понятии конуса, построенного над данной кривой, с данной вершиной и вообще о понятии конической поверхности: для общего определения конической поверхности надо только дать общее определение однородной функции от трех переменных как функции, удовлетворяющей при некотором фиксированном натуральном числе k условию

для всех вещественных чисел построенное для данной функции натуральное число k называется степенью или порядком однородности функции F. Для многочленов это общее определение однородности совпадает с элементарным определением, данным на стр. 322 в подстрочном примечании. После того как определен класс «допустимых функций» , служащий для того, чтобы посредством уравнений вида (2) задавать «допустимые» поверхности, мы среди этих допустимых поверхностей выделяем конические поверхности, как такие, которые в некоторой системе координат могут быть заданы уравнением (2), левая часть которого есть однородная допустимая функция.

Естественно назвать начало соответствующей системы координат вершиной конической поверхности. Основное свойство конических поверхностей оказывается выполненным и при этом общем определении: если О — вершина конуса, а М — любая его точка, то вся прямая ОМ лежит на конусе.

Определение алгебраических линий и вообще определение линий посредством уравнений вида (1) применимо лишь к линиям, лежащим на плоскости.

Линии в пространстве можно определять, задавая два уравнения

как пересечение поверхностей, определенных соответственно этими уравнениями.

Пример такого определения линии мы имели, когда задавали прямую в пространстве ее так называемым «общим уравнением», т. е. как пересечение двух плоскостей

Вообще же, задавая линию в пространстве системой двух уравнений вида приходится принимать некоторые предосторожности, так как не всегда пересечение двух поверхностей естественно называть линией.

Широко применяется в математике и задание линий посредством параметрических уравнений: двух:

— на плоскости; трех:

— в пространстве.

Большим достоинством этого способа задавать линии является его всеобщность — он в равной мере применим и к плоским, и к пространственным линиям (и даже к линиям в -мерном пространстве).

Читатель, вероятно, оценил удобства параметрического задания линий даже на простейшем рассмотренном в этих лекциях примере - параметрического уравнения прямой. Налагая те или иные условия на класс «допустимых» функций мы получаем соответствующие классы линий. Среди них особенно важным является класс дифференцируемых линий, определяемых уравнениями в которых правыми частями являются дифференцируемые функции . Дифференцируемые линии характеризуются наличием у них касательной в каждой точке. Если у функций ), в каждой точке (рассматриваемого отрезка существуют непрерывные производные, то линии (За) и называются гладкими (или «кривыми с непрерывно вращающейся касательной»).

Кривые «гладкости определяются требованием, чтобы функции имели непрерывные производные до порядка k включительно.

Полученные таким образом классы кривых изучаются в элементарной дифференциальной геометрии.

В противоположность этой все возрастающей специализации понятия кривой, противоположный подход — стремление найти наиболее широкий класс множеств, еще заслуживающих названия линий, и изучение этих наиболее общих линий — с успехом осуществляется в топологии. Задача определения и изучения линий в общегопологическом смысле слова была впервые поставлена Д. Ф. Егоровым еще в 1911 г. и была решена П. С. Урысоном (а также австрийским математиком К. Мецгером) в 1921 г. Начальные сведения об этих вещах (а также о созданной П. С. Урысоном теории размерности) читатель может получить в превосходной и очень доступно написанной книжке А. С. Пархоменко «Что такое линия?».

В заключение заметим, что поверхности можно также определять параметрическими уравнениями

где непрерывные функции определены в некоторой области плоскости, например в квадрате

Замечание. Если требовать лишь непрерывности функций при параметрическом определении (как кривых, так и поверхностей), то снова получается слишком широкий класс геометрических объектов; поэтому в случае определения поверхностей уравнениями (4) требуют, например, существования частных производных функций .

Общая проблема топологического определения поверхностей также решена П. С. Урысоном в построенной им теории размерности.