§ 7. Пропорциональность пар чисел

Рассмотрим всевозможные пары вещественных чисел, причем пару, состоящую из двух нулей: будем считать «запрещенной»; ее рассматривать не будем.

Две пары назовем пропорциональными, если существует такое число , что , число k называется коэффициентом пропорциональности.

Пропорциональность пар записывается в виде формулы

называемой пропорцией.

Отметим следующие свойства пропорциональности:

1. (Рефлексивность). Каждая пара пропорциональна самой себе (т. е. , коэффициент пропорциональности k есть 1).

2. (Симметрия). Если , то .

В самом деле, пропорция означает существование такого , что но тогда .

3. (Транзитивность). Если , то .

В самом деле, имеем , но тогда , что и требовалось доказать.

Дальнейшими свойствами пропорциональности являются:

4. Если , то и .

И та и другая пропорции означают существование такого , что .

5. Если в одной из двух пропорциональных пар чисел один из двух элементов равен нулю, то и в другой паре соответствующий элемент равен нулю.

Например, если , то и .

6. Всякие две пары вида (равно как и две пары вида ) пропорциональны.

В самом деле, так как пары незапрещенные, то .

Полагая имеем — утверждение доказано.

7. Две пары пропорциональны тогда и только тогда, когда

В самом деле, из пропорции (1) следует, что и, значит, , т. е. имеет место равенство (2).

Пусть, наоборот, (2) выполнено, и пусть, например, . Из (2) следует

Если при этом , то и наши пары пропорциональны. Если же , то положим . Тогда и — пары снова пропорциональны.

8. Пропорция

эквивалентна (при ) пропорции

В самом деле, каждая из пропорций (1), (1) эквивалентна равенству (2).

Замечание. Иногда, но чисто формальным соображениям, допускают замену формулы (1) формулой (Г) и в случае , т. е. пишут

вместо

Но при этом надо помнить, что формула является лишь другой записью формулы (10) и не имеет никакого отличного от нее содержания.

Если пары пропорциональны, то мы говорим также, что они имеют одно и то же отношение. Если при этом и, значит, , то числа — и равны между собою, и говорим, что отношение равно числу Если же , то и , и мы говорим, что отношение бесконечно, а . Теперь мы можем сказать, что формула (1) действительно есть равенство, а именно что она выражает равенство отношений двух пропорциональных пар. При этом обе части этого равенства или равны одному и тому же числу К, или они обе равны .

Мы уже отметили, что все незапрещенные пары вида пропорциональны между собою и, следовательно, имеют одно и то же (бесконечное) отношение: при любом можно, например, написать

в частности,

т. е. существует только одно бесконечное отношение (никаких для отношений не существует!).

Вернемся теперь к отношению в котором точка М делит данный отрезок АВ прямой. Нам будет удобно задавать его не одним числом к, а произвольной парой чисел с, , выбранных при условии , т. е. писать

Если на прямой дана система координат, в которой , то из формулы (2) § 6 получаем для определения координаты точки уравнение

т. е.

Эта формула определяет однозначно координату точки М, делящей отрезок АВ в заданном отношении , для любых , за исключением случая, когда . В частности, получаем , при получаем . Итак, точка В делит отрезок АВ в отношении, равном .