§ 6. Теорема о структуре произвольного линейного преобразования евклидова пространства

Эта теорема уже была сформулирована в конце § 4. Повторим эту формулировку.

Теорема 13. Всякое линейное преобразование евклидова пространства может быть представлено в виде произведения ортогонального преобразования и самосопряженного преобразования, имеющего в некотором базисе матрицу

в которой все положительны.

Доказательство опирается на две леммы.

Лемма 1. Для любых двух операторов А и В имеем

Доказательство. Тождество (2) следует из тождества для матриц (доказанного в главе VIII, § 2). Из доказанного вытекает

Следствие. Произведение двух самосопряженных операторов А и В тогда и только тогда является самосопряженным, когда эти операторы переместительны при умножении.

В самом деле, если то

и, значит, тогда и только тогда, когда

Лемма 2. Для всякого линейного преобразования А пространства преобразование (равно как и является самосопряженным, с положительными характеристическими числами.

В самом деле, по лемме 1 имеем

Оператор является самосопряженным.

Докажем, что его характеристические числа положительны. Пусть — собственный вектор оператора , соответствующий собственному значению . Тогда

Почленно скалярное умножение этого равенства на дает

или

Лемма 2 доказана.

Пусть теперь А — произвольное линейное преобразование пространства Рассматриваем самосопряженный оператор и строим для него ортонормальный базис из его собственных векторов . В этом базисе оператор 3) имеет матрицу (1) с положительными Обозначим через преобразование, имеющее в базисе матрицу

Очевидно,

Далее,

Рассмотрим преобразование

Тогда

При этом по самому своему определению есть самосопряженное преобразование, и базисные векторы являются для собственными векторами с положительными собственными значениями.

Остается доказать, что 33 — ортогональное преобразование, т. е. что

Имеем

Но поэтому

чем все доказано.

Помня, что было сказано в §§ 2 и 3 о геометрической структуре ортогональных преобразований и преобразований, имеющих в каком-либо ортонормальном базисе матрицу (1) с положительным мы можем следующим образом переформулировать только что доказанную теорему.

Теорема 13. Любое линейное преобразование А векторного евклидова пространства есть произведение преобразований, каждое из которых есть либо симметрия (относительно -мерного пространства), либо поворот, либо сжатия (растяжения), причем сжатия происходят вдоль взаимно перпендикулярных осей.

Аффинные преобразования -мерного точечно-векторного евклидова пространства оставляющие неподвижной какую-нибудь точку О (которую берем за начало координат прямоугольного репера ), естественным образом отождествляются с линейными преобразованиями соответствующего векторного пространства.

Но всякое аффинное преобразование А пространства может Сыть представлено в виде

где А есть преобразование, оставляющее неподвижной некоторую точку О пространства, a есть сдвиг всего пространства на некоторый вектор и (т. е. преобразование, ставящее в соответствие каждой точке М точку, для которой . В самом деле, пусть при аффинном преобразовании А точка О (начало координат) переходит в некоторую точку О. Тогда, обозначая через сдвиг пространства на вектор , видим, что при преобразовании

точка О остается неподвижной и Из доказанного следует

Теорема 14. Всякое аффинное преобразование точечно-векторного -мерного евклидова пространства есть произведение преобразований, каждое из которых является одним из следующих элементарных преобразований:

сдвиг (на некоторый вектор),

симметрия (относительно некоторой (-мерной плоскости),

поворот на некоторый угол , ,

сжатие (растяжение),

причем сжатия, если их несколько, происходят вдоль взаимно перпендикулярных осей.