§ 8. Двойное отношение

1. Определение двойного отношения четырех точек на прямой.

Пусть А, В, С, D — четыре точки, лежащие на одной прямой g. Предположим сначала, что как прямая g, так и взятые на ней точки А, В, С, D являются собственными. Двойным отношением четырех точек А, В, С, D называется число

Это число мы будем обозначать через

его называют также сложным пли ангармоническим отношением, четырех точек А, В, С, D. Иногда (ABCD) называют двойным отношением точки D к трем точкам А, В, С.

Двойное отношение (ABCD) положительно, если обе точки С и D лежаг внутри или вне отрезка АВ; оно отрицательно, если из двух точек С и D одна лежит внутри, а другая вне отрезка в этом случае говорят, что пары точек А, В и С, D разделяют друг друга (на данной прямой). Если точка D уходит в бесконечность, а точки А, В, С остаются на своих местах, то отношение стремится к пределу —1, a (ABCD) — к пределу

Введем на прямой g аффинную систему координат, и пусть в этой системе

тогда

Если перейти к однородным координатам, полагая

и вводя обозначения

то для двойного отношения четырех точек А, В, С, D будем иметь

т. е.

Выражение, стоящее в правой части равенства (2), имеет смысл и в том случае, когда одна из точек А, В, С, D является несобственной.

Если А, В, С — собственные, a D — несобственная точка, то в формуле (2) можно положить:

и мы получаем

— в соответствии со сказанным выше.

Если при этом С есть середина отрезка АВ, то . Перейдем теперь от однородных координат к каким-нибудь другим проективным координатам на прямой g, и пусть в этих координатах

Покажем, что тогда

В самом деле, пусть

Тогда

и аналогично для трех остальных детерминантов, стоящих в правой части формулы (4).

Мы видим, что при преобразовании проективных координат на прямой каждый из упомянутых детерминантов умножается на одно и то же число, следовательно, оно появляется в качестве сомножителя два раза в числителе и два раза в знаменателе формулы (3). Итак, доказана формула (3), выражающая инвариантность двойного отношения относительно преобразования проективных координат на прямой. Теперь естественно дать следующее основное

Определение. Пусть А, В, С, D — четыре точки, лежащие на проективной прямой g, на которой дана какая-нибудь, совершенно произвольная система проективных координат. Пусть в этой системе проективных координат

Двойным отношением четырех точек А, В, С, D называется число (ABCD), определенное равенством

Равенство (3) показывает, что двойное отношение четырех точек не зависит от того, в какой системе проективных координат на прямой взяты координаты этих точек. Если, в частности, принять за фундаментальные точки проективной системы координат точки А и В, а за единичную точку — точку С и положить то будем иметь

т. е.

двойное отношение (ABCD) равно неоднородной проективной координате точки D в системе проективных координат

Пусть А, В, С — раз навсегда зафиксированные точки прямой g, a D — произвольная (переменная) точка; она вполне определяется отношением своих координат которое в свою очередь определяется из равенства (5) двойным отношением (ABCD). Мы получили следующий очень важный результат.

Теорема 11. Если на прямой даны три зафиксированные точки А, В, С, то всякая четвертая точка однозначно определяется своим двойным отношением к трем данным точкам.

2. Гармонические четверки точек. Если

то четверка точек А, В, С, D называется гармонической. В этом случае говорят также, что две точки С и D являются гармонически сопряженными относительно точек А и В или что пары точек А, В и С, D гармонически разделяют друг друга. Точку D также называют четвертой гармонической к тройке точек А, В, С.

Замечание. Из определения двойного отношения следует (и читатель легко убедится в этом), что при перестановке точек А, В, С, D двойное отношение может менять свой знак, а также может менять свою величину на обратную.

В частности,

Поэтому, если пары А, В и С, D гармонически сопряжены, то гармонически сопряжены и пары и гармоническая сопряженность двух пар точек не нарушается также при перестановке точек в какой-нибудь паре.

Наконец, мы видели, что если двойное отношение (ABCD) отрицательно, то пары точек А, В и С, D разделяют друг друга; в частности, разделяют друг друга две гармонически сопряженные пары.

3. Двойное отношение и проективные отображения. Теорема 12. Пусть А — проективное отображение плоскости P на плоскость — четыре точки плоскости P, лежащие на прямой их образы при проективном отображении А, лежащие на прямой g (в которую при отображении перешла прямая g). Тогда

т. е. двойное отношение четырех точек есть инвариант проективного отображения одной плоскости на другую.

Доказательство. Введем на прямой g систему проективных координат с фундаментальными точками X и Т и единичной точкой Е, и пусть в этой системе

При проективном отображении плоскости P на плоскость Р прямая g проективно отображается на прямую

Это значит, что на прямой g имеется система проективных координат с фундаментальными точками X и Т и единичной точкой Е, по отношению к которой точки А, В, С, D имеют такие же координаты, какие точки А, В, С, D имеют в системе проективных координат, введенной на прямой g, т. е.

а отсюда следует, что

Из этой теоремы и теоремы 11 вытекает

Теорема 13. Всякое взаимно однозначное отображение прямой g на прямую g, сохраняющее двойное отношение любой четверки точек, есть проективное отображение.

В самом деле, пусть А, В, С — какие-нибудь три различные точки на прямой g, и пусть образы при отображении Тогда существует единственное проективное отображение А, отображающее точки А, В, С соответственно на А, В, С. При отображении А любая точка М прямой g переходит в точку , для которой

Но при отображении точка М переходит в точку Ж, для которой то же

Значит, в силу теоремы 11 для любой точки М прямой g точки совпадают, а это и значит, что отображение совпадает с проективным отображением А.

Двойное отношение в пучке прямых. Пусть на плоскости дай пучок О и в нем луча . Возьмем на плоскости какие-нибудь две прямые , не проходящие через точку О. Они пересекают прямые соответственно в точках (рис. 243).

Рис. 243.

При перспективном отображении прямой g на прямую g с центром перспективы О точки А, В, С, D переходит соответственно в точки . Так как при перспективном отображении (являющемся, как мы знаем, частным случаем проективного отображения) одной прямой на другую двойное отношение любой четверки точек сохраняется, то (ABCD) и мы получили такой результат: Теорема 14. Пусть на плоскости дан пучок прямых О и в нем четыре луча .

Тогда, какова бы ни была прямая g, лежащая в плоскости и не проходящая через точку О, двойное отношение (ABCD) четырех точек А, В, С, D, в которых прямая g пересекает прямые одно и то же: оно не зависит от выбора прямой g. Это двойное отношение называется поэтому двойным отношением (abсd) четырех лучей пучка О.

Если в пучке О дана проективная система координат, в которой то

Этот результат непосредственно следует из определения двойного отношения четырех лучей пучка и из формулы (5) (стр. 623).

Читателю предоставляется доказать следующую теорему: отображение пучка О на пучок О тогда и только тогда является проективным, когда оно сохраняет двойное отношение любых четырех лучей.

Лучи образуют гармоническую четверку, если . О них можно повторить сказанное выше по поводу гармонических четверок точек.

Возьмем прямую g так, чтобы она не была параллельной ни одному из четырех лучей . Тогда все четыре точки А, В, С, D, в которых прямая g пересекает лучи а, b, с, d, — собственные, и двойное отношение (ABCD), а значит и (abсd), равно следующему выражению через площади ориентированных треугольников:

Но , где есть угол от вектора ОА до вектора ОС и т. д., так что

т. е.

5. Выражение двойного отношения четырех точек на прямой, заданных своими координатами относительно системы проективных координат на плоскости. Пусть в системе проективных координат точки А, В, С, D, лежащие на прямой g (рис. 244), имеют следующие координаты:

Так как точки не лежат на одной прямой, то прямая g не проходит по крайней мере через одну из этих точек.

Предположим, например, что прямая g не проходит через точку и рассмотрим перспективное отображение прямой g на прямую с центром перспективы Пусть А, В, С, D — образы точек А, В, С, D при этом отображении. Так как при проективном, и в частности при перспективном, отображении двойное отношение четырех точек на прямой остается неизменным, то

В системе проективных координат точки имеют следующие координаты:

Пусть Е — точка пересечения прямой с прямой Тогда

Введем на прямой систему проективных координат с фундаментальными точками и единичной точкой Е. В этой системе координат (см. доказательство теоремы 8 (§ ) точки А, В, С, D имеют следующие координаты:

Поэтому

Но

и потому имеем окончательно

Рис. 244.

Точно так же можно показать, что если прямая g не проходит через точку то

и, наконец, если g не проходит через , то

6. Двойное отношение четырех точек на прямой, заданной параметрическими уравнениями. Пусть прямая g проходит через точки

Так как точки А и В различны, то матрица

имеет ранг 2. Предположим, например, что отличен от нуля детерминант

Пусть теперь — в параметрическом представлении прямой g через координаты точек А и В — имеем:

где — точки прямой g. Тогда

и аналогично

так что формулу (6) можно переписать в виде

Замечание. Так как точки отличны и от А, и от В, то все коэффициенты в (7), (7) отличны от нуля, так что мы можем положить, например, и в этом предположении переписать (8) в виде

Если четверка точек А, В, С, D гармоническая, то формула (8) дает

или (при нормировке )