Задачи к главе XI

Задача 44. Найти неподвижную точку собственного ортогонального преобразования

(Система координат прямоугольная.)

Решение. Координаты неподвижной точки определяются из системы уравнений

или

Детерминант системы

Если перенести начало координат в неподвижную точку О, сохранил положительное направление осей, то в новой системе формулы преобразования будут иметь вид

Задача 45. Найти ось симметрии и вектор переноса вдоль оси симметрии несобственного ортогонального преобразования

(Система координат прямоугольная.)

Решение. Направляющий вектор оси симметрии находится из системы уравнений

которую можно переписать в виде

Детерминант системы (2)

ранен нулю; следовательно, эта система имеет ненулевое решение. Решением этой системы могут служить, например, координаты вектора

или координаты коллкиеарного ему вектора

Вектор v переноса в направлении оси симметрии найдем, как ортогональную проекцию вектора на ось симметрии. Направляющий вектор оси симметрии

Искомый вектор переноса

или в координатах

Если — какая-нибудь точка оси симметрии и - ее образ при данном преобразовании, то

т. е.

откуда

Вставляя в эти равенства вместо и их значения из формул преобразования, получим

Каждое из этих эквивалентных друг другу уравнений и определяет искомую ось симметрии.

Упрощая какое-нибудь одно из них, мы получим для оси симметрии данного преобразования следующее уравнение:

Если принять за новую ось абсцисс прямоугольной системы коордннат ось симметрия и в качестве ее положительного направления взять направление вектора переноса в направлении оси симметрии (ось ординат может быть выбрана при этом произвольно), то в новой системе формулы преобразования будут иметь вид

Задача 46. Относительно прямоугольной системы координат даны четыре прямые:

Найти площадь параллелограмма, образованного этими прямыми.

Решение. Рассмотрим аффиниое преобразование

Это преобразование переводит данные прямые соответственно в прямые

Обозначим через S площадь параллелограмма, образованного данными прямыми (1), (2), (3), (4), а через S — площадь прямоугольника, образованного прямыми . Стороны этого прямоугольника равны

поэтому его площадь

Но площадь образа какой-либо фигуры равна площади прообраза этой фигуры, умноженной на детерминант преобразования:

откуда

Задача 47. Найти двойные плоскости аффинного преобразования

трехмерного аффинного пространства.

(Плоскость называется двойной, если она совпадает со своим образом при данном аффинном преобразовании.)

Решение. Прообразом плоскости

служит плоскость

или

Если плоскость (1) двойная, то она совпадает со своим прообразом (2). Необходимым и достаточным условием совпадения двух плоскостей является пропорциональность соответствующих коэффициентов их уравнений. Применяя эту теорему к плоскостям, определяемым уравнениями (1) и (2), получим:

или

Так как числа Л, В, С не могут равняться нулю одновременно, то детерминант, составленный из коэффициентов уравнений системы (3), должен быть равен нулю, т. е.

или

Из уравнения (5) находим Полагая в системе получим:

откуда находим:

Вставляя эти значения в уравнение (4), найдем Таким образом, имеем двойную плоскость, соответствующую корню

Полагая теперь в системе получим систему

трех равносильных уравнений. Уравнение (4) при принимает вид

откуда

Следовательно, уравнения всех двойных плоскостей, соответствующих корыо могут быть написаны в виде

или

Последнее уравнение показывает, что все двойные плоскости, соответствующие корню проходят через точку а из равенства

заключаем, что все они параллельны вектору .

Итак, семейство двойных плоскостей, соответствующих корню образует пучок плоскостей, проходящих через прямую

Задача 48. Найти общий вид аффинных преобразований, при которых гипербола

переходит в себя.

Решение. Пусть

— аффинное преобразование, переводящее гиперболу (1) в себя. Так как преобразование (2) оставляет на месте центр гиперболы, совпадающий с началом координат, то отсюда следует, что

и, следовательно,

Преобразование (3) переводит асимптоты гиперболы, совпадающие с осями координат, в асимптоты этой же гиперболы. Однако возможны два случая:

1) каждая асимптота переходит сама в себя,

2) каждая асимптота переходит в другую асимптоту.

Рассмотрим первый случай. Так как ось в рассматриваемом случае переходит сама в себя, то отсюда следует, что когда то и при любом значении а отсюда в свою очередь вытекает, что Из того, что ось является двойной прямой, точно так же выводим, что Таким образом, в разбираемом случае формулы (3) принимают вид

Если точка лежит на гиперболе, то и ее образ лежит на той же гпперболе, т. е. равенства имеют место одновременно. Поэтому, воспользовавшись равенствами (), имеем

откуда следует, что

Полагая

будем иметь

Таким образом, в рассматриваемом случае искомое аффинное преобразование имеет вид

Во втором случае искомое аффинное преобразование переводит ось в ось Отсюда следует, что при и при любом значение к обращается в нуль. Первое из равенств (3) в этом случае дает Точно так же из того, что ось переходит в ось вытекает, что любом , если только Поэтому во втором равенстве Таким образом, в рассматриваемом случае имеем

Как и в первом случае, доказывается, что

и потому, полагая

имеем

и формулы (3) в этом случае принимают вид

Задача 49. Найти общий вид линейных преобразований трехмерного пространства, при которых каждый вектор переходит в вектор, ему ортогональный.

Решение. Если

— искомое преобразование, то

Применяя это соотношение к вектору выведем отсюда

Введем в пространстве ортопорчированный базис и пусть

— матрица рассматриваемого преобразования в этом базисе. Это значит, что

Применяя равенство (2) к векторам найдем, что

Применяя к этим же векторам равенство (3), увидим, что

Таким образом, оказывается, что матрица (4) преобразования (1) во всяком ортонормированием базисе имеет вид

т. е.

Положим

и рассмотрим вектор . Пусть

— произвольный вектор,

— образ вектора и при преобразовании. Тогда, используя принятые нами обозначения, можем записать преобразование (1) в виде

Равенства (6) могут быть заменены одним равенством

Таким образом, преобразование А, переводящее каждый вектор и в вектор, ему ортогональный, сводится к векторному умножению постоянногб вектора а на переменный вектор .