ГЛАВА X. ПЛОСКОСТЬ И ПРЯМАЯ В ПРОСТРАНСТВЕ

§ 1. Уравнения плоскости

1. Параметрическое и обшее уравнения плоскости. Всякую плоскость в пространстве можно задать, указав какую-нибудь ее точку и два произвольных приложенных к этой точке неколлипеарных вектора (рис. ) и . Эти векторы определяют двумерное векторное многообразие, состоящее из всех векторов и, являющихся линейными комбинациями векторов их прилагая векторы и к точке , получим всевозможные закрепленные векторы вида

где s и t — произвольные вещественные числа; концы М этих векторов и заполняют плоскость, проходящую через точку и два приложенных к ней вектора их и .

Рис. 119.

В координатной форме уравнение (1) переписывается так:

Давая в этих уравнениях переменным s и t всевозможные числовые значения, получим все точки нашей плоскости и только точки этой плоскости. Поэтому векторное уравнение (1) или равносильная ему тройка числовых уравнений (1) называется параметрическим уравнением плоскости.

Уравнения (1) выражают линейную зависимость столбцов матрицы

что в свою очередь эквивалентно равенству

или уравнению

где

Таким образом, уравнение (3) представляет собою необходимое и достаточное условие, чтобы точка принадлежала плоскости, определяемой уравнением (1), т. е. уравнение (3) есть уравнение плоскости, проходящей через точку и через пару неколлинеарных векторов

Задача. Найти уравнение плоскости, проходящей через три данные неколлинеарные точки

Искомая плоскость содержит точку и неколлинеарные векторы

ее уравнение, следовательно, есть (2), т. е.

что может быть переписано и в виде

(в чем убеждаемся непосредственным вычислением, вычитая вторую строку последнего детерминанта из остальных трех его строк).

2. Уравнение двумерного векторного многообразия. Мы доказали, что всякая плоскость есть множество всех точек , являющихся решениями некоторого уравнения первой степени с тремя неизвестными, а именно уравнения (3). Переходим к доказательству обратного предложения: множество всех точек , координаты которых удовлетворяют некоторому уравнению первой степени, есть плоскость. Для этого рассмотрим однородное уравнение

всякое решение однородного уравнения (5) мы будем рассматривать как вектор в пространстве, снабженном раз навсегда заданной аффинной системой координат.

Прежде всего докажем, что множество всех векторов-решений уравнения (5) есть векторное многообразие.

Для этого достаточно доказать два утверждения:

1. Исли векторы решениями уравнения (5), той вектор является решением этого уравнения.

2. Если вектор есть решение уравнения (5), то при любом К вектор , есть решение этого уравнения.

Оба этих утверждения доказываются совершенно автоматически, подстановкой в уравнение (5) координат соответственно вектора и вектора :

Замечание. Если дано не одно однородное уравнение (5), а система таких уравнений и если векторы удовлетворяют всем уравнениям этой системы, то вектор будет удовлетворять всем уравнениям этой системы.

Аналогично, если вектор , есть решение системы однородных уравнений вида (5), то и вектор будет решением этой системы. Таким образом, имеет место совершенно общая

Теорема 1. Множество всех векторов , являющихся решениями произвольной системы однородных линейных уравнений, есть секторное многообразие.

Вернемся к одному уравнению

Предполагаем, что не все коэффициенты в этом уравнении равны нулю. Докажем, что многообразие V всех решений уравнения (5) имеет размерность Для того чтобы доказать, что , достаточно найти какой-нибудь вектор w, не содержащийся в многообразии V. По крайней мере один из коэффициентов А, В, С отличен от нуля; пусть, например, Тогда вектор заведомо не содержится в многообразии V. Итак, . Для того чтобы доказать равенство , остается найти в многообразии V два линейно независимых вектора . Для этого (предполагая все время, что положим

Векторы линейно независимы (они, очевидно, не коллинеарны); они удовлетворяют уравнению . Утверждение доказано.

Докажем обратное утверждение: всякое двумерное векторное многообразие V есть многообразие решений некоторого линейного однородного уравнения (5).

В самом деле, все векторы и данного многообразия V и только они суть линейные комбинации двух произвольно выбранных в V неколлинеарных векторов этому условие, необходимое и достаточное для того, чтобы вектор принадлежал многообразию V, состоит в том, чтобы при некоторых s и t было

или, в координатной записи,

Но это условие выражает линейную зависимость векторов-столбцов матрицы

что в свою очередь равносильно уравнению

или уравнению

где

(при этом не все три коэффициента А, В, С равны нулю: это следует из того, что векторы не коллинеарны). Мы доказали, что векторное многообразие V есть многообразие всех решений уравнения (5).

Итак, доказана

Теорема 2. Множество всех решений однородного линейного уравнения (не вырождающегося в тождество есть векторное многообразие размерности 2; обратно, всякое двумерное векторное многообразие есть множество решений некоторого однородного линейного уравнения (5).

3. Первая основная теорема о плоскости. Возьмем теперь общее линейное уравнение

в котором хотя бы один из коэффициентов А, В, С отличен от нуля. Пусть — какое-нибудь решение этого уравнения .

На основании теоремы 4 (гл. VII) мы получим все решения уравнения (3) и только решения этого уравнения, если положим

где пробегает многообразие V всех решений однородного уравнения Но точка есть конец вектора , приложенного к точке . Когда вектор пробегает двумерное векторное многообразие V, а оно состоит из всех линейных комбинаций двух каких-нибудь лежащих в нем неколлинеарных векторов их то его конец М зачерчивает плоскость, проходящую через точку и приложенные к ней векторы .

Мы доказали, что множество всех точек , являющихся решениями уравнения (6), есть плоскость. Вместе с тем доказана и

Теорема 3 (первая основная теорема о плоскости). Всякая плоскость в пространстве, снабженном аффинной системой координат, есть множество всех точек, удовлетворяющих некоторому линейному уравнению

Обратно, множество всех точек , являющихся решениями произвольного уравнения вида (6), есть плоскость.

Определение. Всякое уравнение (6), которому удовлетворяют все точки данной плоскости (и только они), называется уравнением этой плоскости.

Замечание. Добавление «и только они» является в последней фразе излишним: если известно, что все точки данной плоскости удовлетворяют уравнению (6), то можно быть уверенным в том, что ни одна точка, не принадлежащая плоскости , этому уравнению не удовлетворяет.

В самом деле, ведь множество всех точек , являющихся решениями уравнения (6), образует некоторую плоскость, которую на мгновение обозначим через ; так как нее точки плоскости уравнению (6) тоже удовлетворяют, то вся плоскость содержится в плоскости , но тогда обе плоскости и непременно совпадают.

4. Условие компланарности вектора плоскости. Связь между уравнением плоскости (6) и соответствующим однородным уравнением дается следующим (в сущности, совершенно очевидным) предложением.

Теорема 4. Для того чтобы вектор был компланарен плоскости

необходимо и достаточно, чтобы было

Другими словами: уравнение (5) есть уравнение двумерного многообразия векторов, компланарных плоскости (6).

Доказательство. 1° Пусть вектор компланарен плоскости (6). Берем какую-нибудь точку этой плоскости и прилагаем к ней вектор и; получаем вектор с началом в и концом , лежащим в плоскости (6); значит,

Вычитая, получим

2° Пусть удовлетворяет уравнению (5). Прилагаем вектор и к какой-нибудь точке плоскости (6). Получим вектор , конец которого в силу (5) и (60) лежит в плоскости (6). Так как и начало этого вектора лежит в плоскости (6), то и весь вектор лежит в этой плоскости. Теорема доказана.

Следствие. Прямая

тогда и только тогда параллельна (в широком смысле) плоскости

когда

Если, кроме того, выполнено условие

то (и только в этом случае) прямая (7) лежит в плоскости.

В самом деле, условие (8) означает, что направляющий вектор прямой (7) компланарен плоскости (6), а условие (60) означает, что точка прямой (7) лежит в этой плоскости.

5. Частные случаи уравнения плоскости. 1° В уравнении плоскости

свободный член D обращается в нуль тогда и только тогда, когда плоскость (6) проходит через начало координат. Доказательство предоставляется читателю.

2° Обращение в 0 коэффициента С означает, что плоскость (6) параллельна оси (в широком смысле слова). В самом деле, равенство выражает необходимое и достаточное условие для того, чтобы вектор (являющийся направляющим вектором оси ) удовлетворял уравнению (5), т. е. был компланарен плоскости (6).

Аналогично есть признак параллельности оси — признак параллельности оси .

3° Если в уравнении (6) обращаются в нуль два коэффициента при координатах, то уравнение (6) определяет плоскость, параллельную одной из координатных плоскостей. В самом деле, если, то уравнение (6) превращается в , т. е.

, и определяет плоскость, параллельную плоскости .

Все три коэффициента А, В, С не могут обратиться в нуль: тогда (6) перестало бы быть уравнением, а превратилось бы в (верное или неверное) тождество.

4° Если все коэффициенты в уравнении (6) отличны от нуля, то это значит, что плоскость (6) не проходит через начало координат и пересекается с каждой координатной осью. Тогда уравнение (6) можно представить в виде

или, полагая

в виде

Нетрудно доказать, что геометрический смысл чисел а, , с таков: точки пересечения P, Q, R нашей плоскости с осями суть соответственно (рис. 120)

Другими словами, числа суть алгебраические значения отрезков — векторов , отсеченных плоскостью (6) на осях координат. Поэтому уравнение (9) называется «уравнением плоскости в отрезках».

Рис. 120.