§ 2. Преобразование многочлена второй степени при преобразовании координат

Так как мы в дальнейшем будем заниматься лишь линиями и поверхностями второго порядка, то многочлены второй степени имеют для нас преимущественный интерес.

Каждый многочлен второй степени от двух переменных

может быть записан в виде

где

есть квадратичная форма старших членов многочлена , а

— линейная форма, состоящая из членов первой степени многочлена .

Полагая получаем симметричную матрицу второго порядка

— матрицу квадратичной формы

детерминант

есть дискриминант формы .

Подобное же положение вещей мы имеем и в случае многочлена второй степени от трех переменных. Общий вид такого многочлена есть

причем члены второго порядка этого многочлена образуют квадратичную форму

а члены первого порядка — линейную форму , где

так что весь многочлен может быть записан в виде

Нас интересует вопрос, как преобразуются многочлены , соответственно , при преобразовании координат. Как мы знаем, каждое преобразование координат слагается из однородного преобразования, которое в случае двух переменных записывается в виде

и из сдвига

Однородное преобразование (3) соответствует переходу от первоначального репера к реперу с тем же началом, а преобразование (4) — сдвигу начала координат на вектор

Посмотрим сначала, как преобразуется многочлен при сдвиге (4).

Подставляя в значения получаем (считая всегда )

Обозначая, как всегда, преобразованный многочлен через

имеем:

На эти формулы мы будем много раз ссылаться. Первые три из равенств (52), а именно означают, что при сдвиге (4) коэффициенты при старших членах многочлена не меняются.

Все это можно повторить и для случая трех переменных: многочлен переходит в

где

Что касается однородного преобразования (3), то нас интересуют в первую очередь квадратичные формы , в которые при этом преобразовании тождественно переходят формы . Исчерпывающий ответ на интересующий нас вопрос дает доказанная в главе XIII

Теорема.

Матрица А квадратичной формы , соответственно , выражается через матрицу А формы , соответственно , и через матрицу С преобразования следуют образом:

где С, как всегда, есть матрица, транспонированная к С.

Так как , то из формулы (6) вытекает

Если обе координатные системы, старая и новая, прямоугольны, то матрица С ортогональна, и