§ 2. Направленные отрезки (векторы); их отношение

Любые две точки А и В пространства, данные в определенном порядке так, что, например, А является первой, а В — второй точкой, определяют отрезок вместе с данным на нем направлением (а именно направлением от А к В), или направленный отрезок с началом А и концом В. Направленный отрезок называют короче вектором.

Вектор с началом А и концом В обозначается через АВ, точка А часто называется точкой приложения вектора АВ.

Вектор, начало и конец которого совпадают, называется нулевым вектором и обозначается через (точка А при этом любая). Направление нулевого вектора неопределенно.

В этой главе мы будем рассматривать лишь векторы, лежащие на одной и той же, раз навсегда данной прямой.

На прямой возможно движение («скольжение») точек и векторов: точка X на прямой может скользить по этой прямой от какого-нибудь начального положения в одном из двух взаимно противоположных направлений. Точно так же и вектор XX может скользить по прямой (также в одном из двух возможных на прямой направлений).

При этом отрезок, определяющий данный вектор, остается все время равным (в смысле элементарной геометрии) исходному отрезку, так что само это движение надо себе представить как скольжение по прямой твердого стержня, всеми своими точками все время лежащего на этой прямой. Два вектора на прямой называются равными, если посредством такого скольжения один из них может быть совмещен с другим. Считая понятие направления на прямой первоначальным и не подлежащим определению, можно сказать и так: два вектора АВ и CD на прямой равны, если они имеют одно и то же направление и если отрезки АВ и CD равны (конгруэнтны) между собою.

Для любых двух векторов АВ и CD на прямой определено их отношение, а именно число X, модуль которого равен отношению отрезков АВ и CD (в смысле элементарной геометрии), а знак положителен, если векторы имеют одно направление, и отрицателен, если их направления противоположны. Два равных вектора имеют отношение 1. Два вектора АВ и CD называются взаимно противоположными, если их отношение равно —1, т. е. если их направления противоположный отрезки АВ и CD равны между собою. Если один из двух взаимно противоположных векторов обозначен, например, через и, то другой обозначается через — очевидно, — . Отношение нулевого вектора к любому ненулевому равно нулю; отношение какого бы то ни было вектора к нулевому не определено. Если отношение вектора CD к вектору АВ равно числу X, то пишут

Поэтому нахождение вектора CD, отношение которого к данному вектору АВ равно данному числу X, называется умножением вектора АВ на это число X. При вектор ХАВ имеет то же направление, что и вектор АВ, при — противоположное. Если , каков бы ни был вектор АВ.

Очевидно, что, заменяя векторы CD и АВ равными им векторами CD и АВ, мы не меняем их отношения:

Если и , то .

Легко проверяется также равенство, верное для любых трех векторов :