§ 6. Проективные преобразования и отображения проективной плоскости

1. Определение и аналитическая запись проективных преобразований. Пусть на проективной плоскости Р задана определенная («исходная») система проективных координат. Без ограничения общности можно предположить, например, что есть арифметическая проективная плоскость с системой однородных координат на ней. Задать на плоскости P проективное преобразование — значит задать некоторую новую проективную систему координат; этим определится преобразование плоскости P, состоящее в том, что каждой точке М плоскости, координаты которой в исходной системе пусть будут ставится в соответствие точка М плоскости, имеющая те же координаты но уже в новой системе координат. Читатель видит, что это определение ироектнвных преобразований совершенно аналогично определению аффинных преобразований, данному в главе XI.

Замечание 1. Из этого определения непосредственно следует, что преобразование проективной плоскости P, обратное к проективному преобразованию, есть проективное преобразование.

Очевидно также, что тождественное преобразование плоскости P есть проективное преобразование.

Если новая система координат задана матрицей С, то, как непосредственно следует из формул преобразования координат, данных в предыдущем параграфе, точка , имеющая в новой системе координат координаты будет иметь в старой системе координаты

Поэтому проективное преобразование можно определить как преобразование, ставящее в соответствие каждой точке проективной плоскости точку где координаты даны формулами (1), причем детерминант матрицы С преобразования (1) не равен 0. Система координат при этом все время одна и та же.

Задается проективное преобразование любой неособой невырожденной матрицей С. Поэтому, считая исходную («однородную») систему координат раз навсегда данной, мы будем обозначать проективное преобразование тою же буквой, что и задающую его матрицу.

Если проективные преобразования и задаются соответственно матрицами А и В, то произведение матриц А и В задает проективное преобразование, являющееся произведением преобразований А и Отсюда следует, что произведение двух проективных преобразований есть проективное преобразование.

Аналогично, если проективное преобразование задается матрицей С, то матрица задает проективное преобразование, обратное к преобразованию преобразование, обратное к проективному, есть проективное преобразование. Так как, наконец, тождественное преобразование, очевидно, является проективным, то из доказанного вытекает

Теорема 3. Совокупность всех проективных преобразований проективной плоскости есть группа (подгруппа группы всех преобразований проективной плоскости).

При проективном преобразовании множество точек какой-либо прямой определенной уравнением

Переходит в множество точек , координаты которых в некоторой новой проективной системе координат удовлетворяют тому же уравнению (2) и которые поэтому образуют некоторую прямую d. Уравнение этой прямой d в исходной системе координат получится, если подставить в (2) вместо координат какой-нибудь точки М их значения, выраженные через координаты (в той же исходной координатной системе) точки . Эти значения получаются, если решить уравнения (1) относительно т. е.

где матрица D коэффициентов есть матрица, обратная к С.

Очевидно, формулы (3) равносильны формулам (1). Внося (3) в (2), получим

или

Полагая

видим, что при проективном преобразовании всякая прямая d с координатами переходит в прямую d с координатами . Так как образом прямой при проективном преобразовании всегда является прямая, то проективные преобразования называются иначе коллинеарными преобразованиями (пли, короче, коллинеациями): они сохраняют коллинеарность точек.

Замечание 2. Из доказанного, очевидно, следует, что при проективном преобразовании всякая тройка неколлинеариых точек переходит в тройку неколлинеариых точек (иначе при обратном преобразовании коллипеарные точки перешли бы в неколлипсарные).

2. Основная теорема о проективных преобразованиях плоскости. Докажем сначала следующее предложение. Пусть при проективном преобразовании А проективной (арифметической) плоскости четверка фундаментальных точек некоторой проективной системы координат переходит в четверку точек . Так как никакие три из точек , по только что сказанному, не лежат на одной прямой, то эти четыре точки определяют снова проективную систему координат. Пусть М — произвольная точка проективной плоскости, М — ее образ при преобразовании А. Тогда М имеет относительно системы те же координаты, какие точка М имела относительно системы

В самом деле, пусть координатная запись точек в исходной системе координат есть

причем в каждой скобке тройки координат выбраны согласованно, т. е. так, что

Тогда, по сказанному в § 5 (формулы (2) и (4)), однородные координаты произвольной точки М связаны с координатами той же точки в системе соотношениями

Проективное преобразование А задано тем, что, наряду с исходной (однородной) системой координат дана некоторая проективная система , так что тройки координат точки М относительно системы суть не что иное, как тройки координат точки М в исходной однородной системе.

Это верно для любой точки М. Так как, в частности, точки суть образы точек при преобразовании А, то тройки координат точек относительно системы пропорциональны тройкам однородных координат точек , т. е. соответственно тройкам и Значит, формулы преобразования координат, соответствующие переходу от системы к системе имеют ту же матрицу коэффициентов, что и преобразование (4).

Поэтому, обозначая через координаты точки в системе и помня, что в системе координаты точки суть будем иметь

Так как и (4) и (4), рассматриваемые как уравнения относительно соответственно однозначно разрешимы, то мы видим, что тройки координат точки в системе совпадают с тройками координат точки М в системе Наше утверждение доказано.

Из доказанного утверждения мы выведем следующий основной факт.

Теорема 4. Пусть — две четверки точек проективной плоскости, удовлетворяющие тому условию, что никакие три точки, принадлежащие одной и той же четверке, не коллинеарны между собою. Тогда одно и только одно проективное преобразование А проективной плоскости, переводящее каждую из точек одной четверки в соответствующую точку другой (т. е. в ).

В самом деле, рассматривая данные четверки как четверки фундаментальных точек двух проективных координагных систем и ставя в соответствие каждой точке М ту точку , которая относительно координатной системы имеет те самые тройки координат, которые точка М имела относительно системы мы получим проективное преобразование, переводящее соответственно точки в точки .

Это преобразование единственно, так как, по только что доказанному, при всяком проективном преобразовании А, переводящем точки соответственно в точки , тройки координат точки AM относительно системы суть не что иное, как тройки координат точки М относительно системы

Замечание 3. Непосредственными следствиями теоремы являются такие простые утверждения:

1° Существует бесконечно много проективных преобразовании плоскости, переводящих данные три ее неколлинеарные точки А, В, С в любые три неколлинеарные точки А, В, С. Тем более существует бесконечно много проективных преобразований, переводящих одну заданную точку в другую.

2° Существует бесконечно много проективных преобразовании плоскости, переводящих пару заданных прямых d, g в пару заданных прямых d, g. Достаточно взять любые две точки А, В на прямой d, две точки на прямой g, а также точки А, В на прямой d, точки С, D на прямой построить проективное преобразование, переводящее точки А, В, С, D соответственно в .

Тем более существует бесконечно много проективных преобразований, переводящих одну из двух данных прямых в другую, а также отображающих любую данную прямую саму на себя.

Предполагая, что в плоскости выбрана определенная система проективных координат, запишем, в частности, преобразование, отображающее одну из координатных прямых на другую, положим прямую на прямую . Таким преобразованием является, напрнмер, преобразование

Запишем в качестве второю примера преобразование, переводящее любую прямую в одну из координатных прямых, напрнмер, предполагая, что в прямую . В качестве такого преобразования можно взять

3. Задание проективных преобразований проективной плоскости аффинными преобразованиями трехмерного пространства. Проективную плоскость рассматриваем как связку с центром О. Данное проективное преобразование А задается переходом от исходной проективной системы координат к новой системе коордннат Берем в классе аффинных координатных систем с началом О, соответствующих проективной координатной системе какую-нибудь определенную систему а в классе аффинных систем, соответствующих проективной координатной системе — какую-нибудь систему Аффинное преобразование, задаваемое переходом от системы к системе переводит каждый луч связки О в луч

являющийся образом луча ОМ при преобразовании этом смысле определяет в связке 0 заданное в ней проективное преобразование А.

Обратно, каждое аффинное преобразование А трехмерного переходом от (какой-нибудь) аффинной координатной системы к (какой-нибудь) координатной системе (с тем же началом О), определяет проективное преобразование А связки О, задаваемое переходом от проективной системы координат (состоящей из класса всех аффинных систем, эквивалентных системе ) к проективной координатной системе (состоящей из всех аффинных систем, эквивалентных системе ). Спрашивается: когда два аффинных преобразования (оставляющих неподвижной точку О) определяют одно и то же проективное преобразование А связки О? Без ограничения общности можно предположить, что оба преобразования определены переходом от одной и той же аффинной системы координат соответственно к системам и .

Для того чтобы они определяли одно и то же проективное преобразование, очевидно, необходимо и достаточно, чтобы системы и были эквивалентны, т. е. чтобы существовало такое , что

Но тогда аффинное отображение получается из аффинного отображения А умножением его на растяжение (гомотетию) с центром О и коэффициентом растяжения к. Итак, доказана

Теорема 5. Всякое проективное преооразование связки О порождается некоторым аффинным преобразованием трехмерного пространства, оставляющим неподвижную точку О; обратно, всякое аффинное преобразование пространства, оставляющее Неподвижной точку О, порождает некоторое проективное преобразование связки О; два аффинных преобразования (оставляющие неподвижной точку О) тогда и только тогда порождают одно и то же проективное преобразование слязки О, когда каждое из этих аффинных преобразований получается из другого последующим растяжением пространства с центром О.

4. Подгруппа проективно-аффинных преобразований. Проективное преобразование проективно-аффинной плоскости (т. е. проективной плоскости с выделенной в ней несобственной прямой) называется проективно-аффинным, если оно отображает несобственную прямую саму на себя (т. е. отображает всякую несобственную точку на несобственную).

Замечание 4. Для того чтобы проективное преобразование было проективно-аффинным, достаточно, чтобы оно отображало две какие-нибудь несобственные точки и на несобственные же точки тогда и несобственная прямая, будучи инцидентной точкам и отобразится на прямую, инцидентную несобственным точкам т. е. на несобственную прямую.

Замечание 5. При проективно-аффинном преобразовании всякая собственная точка М отображается на собственную точку .

В самом деле, пусть точка несобственная. В силу взаимной однозначности отображения точка М, будучи образом собственной точки не может быть образом никакой несобственной точки. Поэтому из сделанного предположения следует, что при отображении несобственная прямая отображается на свою истинную часть, что невозможно, так как при проективном преобразовании всякая прямая (как множество инцидентных ей точек) отображается на прямую.

Итак, при проективно-аффинном отображении проективной плоскости происходит отображение множества всех собственных точён плоскости на себя, т. е. происходит некоторое преобразование той аффинной плоскости, от пополнения которой несобственными элементами произошла данная проективная плоскость. Докажем что это преобразование является аффинным.

Предполагаем, что данная проективная плоскость есть арифметическая проективная плоскость с несобственной прямой

Рассмотрим сначала какое-нибудь проективное преобразование задаваемое формулами

выражающими однородные координаты точки

через однородные координаты точки М.

Предположим, что при преобразовании образом несобственной точки всегда является несобственная же точка. Тогда, полагая в последнем равенстве (1)

будем при любых значениях всегда иметь Но это возможно лишь тогда, когда

Так как детерминант матрицы С отличен от нуля, то

так что преобразование (1) записывается в виде

(5)

Перейдем к аффинным координатам собственных точек арифметической проективной плоскости.

Для этого поделим левую и правую части равенств (5) на получим

полагая

получим

Итак, проективно-аффинное преобразование, рассматриваемое на множестве собственных точек плоскости, есть аффинное преобразование.

Обратно, если дано аффинное преобразование

плоскости, то, переходя к однородным координатам, можем написать

Отсюда

так что

что дает при непременно — получаем проективное преобразование, оставляющее на месте несобственную прямую, т. е. проективно-аффинное преобразование.

Доказана следующая

Теорема 6. Всякое проективно-аффинное преобразование, рассматриваемое лишь на множестве собственных точек проективной плоскости, есть аффинное преобразование.

Обратно, всякое аффинное преобразование посредством формул (7) может быть распространено на всю проективную плоскость таким, образом, что получится проективно-аффинное преобразование проективной плоскости.

Отсюда легко следует, что совокупность всех проективно-аффинных преобразований есть подгруппа группы всех проективных преобразований проективной плоскости, изоморфная группе всех аффинных преобразований (обыкновенной аффинной плоскости).

Иногда доказанную теорему кратко, но неточно формулируют так: аффинные преобразования суть проективные преобразования, при которых несобственная прямая отображается на себя.

В заключенно покажем, какой вид имеет в аффинных координатах любое проективное преобразование, если его рассматривать лишь на множестве собственных точек плоскости.

Итак, пишем снова формулы проективного преобразования (1) и переходим к аффинным координатам, для чего переписываем эти формулы в виде

и полагаем в них

Получаем

Это и есть формулы, дающие проективное преобразование собственных точек плоскости в аффинных координатах.

Эти формулы перестают действовать для точек, лежащих на прямой на прямой .

Но, как показывает последняя из формул (1), эти точки при нашем преобразовании переходят в точки вида т. е. в несобственные точки плоскости; естественно, что мы не можем найти аффинных координат этих точек.

Пусть дано какое-нибудь проективное преобразование плоскости, не являющееся проективно-аффинным. Оно переводит несобственную прямую в некоторую обыкновенную прямую d.

Рис. 234.

Пусть при этом несобственные точки оси абсцисс и оси ординат какой-нибудь (хотя бы прямоугольной) координатной системы переходят соответственно в точки и прямой d. Тогда два несобственных пучка прямых параллельных (на обыкновенной плоскости) соответственно оси ординат и абсцисс выбранной прямоугольной координатной системы, перейдут соответственно в пучки с центрами и , а квадратная сетка, изображенная на рис. 234, а, перейдет в сетку четырехугольников, изображенную на рис. 234, б.

Эти рисунки, а также сделанный на их основе рис. 235 помогут читателю составить себе наглядное представление о том, что может происходить при проективной преобразовании.

Рис. 235.

5. Проективные отображения одной плоскости на другую. Перспективные отображения. До сих пор мы рассматривали лишь проективные преобразования, т. е. проективные отображения какой-либо проективной плоскости на себя. Однако легко определить и взаимно однозначные проективные отображения одной проективной плоскости P на другую P. Для того чтобы задать такое отображение, надо задать на плоскостях но проективной координатной системе этим определится отображение плоскости P на плоскость P, которое каждой точке плоскости P ставит в соответствие ту точку плоскости P, которая в системе имеет те самые тройки координат, какие точка М имела в системе

Пусть — две плоскости в трехмерном пространстве; пополняем их соответствующими несобственными точками до проективных плоскостей . Берем какую-нибудь точку О, не лежащую ни в одной из двух плоскостей . Каждой точке М проективной плоскости ставим в соответствие ту собственную или несобственную точку плоскости , в которой эту плоскость пересекает луч связки О (рис. 236). Полученное таким образом отображение плоскости на плоскость называется перспективным отображением с центром перспективы О.

Легко видеть, что всякое перспективное отображение является проективным. В самом деле, возьмем связке О какую-нибудь систему проективных координат . Она определит в плоскости проективную систему , а в плоскости — систему . Очевидно, и точка М плоскости (в системе ), и точка

Рис. 236.

плоскости в системе будут иметь те самые координаты, которые луч имеет в системе

Замечание 6. Важность перспективных отображений вытекает следующей теоремы, выражающей один из основных фактов проективной геометрии:

Всякое проективное отображение плоскости на плоскость я либо отображает несобственную прямую плоскости на несобственную прямую плоскости следовательно, сводится к аффинному отображению плоскости на плоскость ), либо может быть осуществлено посредством собственного или несобственного движения плоскости в пространстве, пополнения перемещенной плоскости до проективной плоскости и последующего перспективного отображения плоскости на плоскость .

Доказательство этой теоремы читатель может найти в книге А. С. Пархоменко и П. С. Моденова «Геометрические преобразования» (Москва, Издательство Московского университета, 1961). Эта книга вообще может быть горячо рекомендована читателю, желающему доступном изложении подробнее ознакомиться с основными свойствами проективных преобразований.

Замечание 7. Легко видеть, что всякое перспективное отображение какой-нибудь плоскости на параллельную ей плоскость есть аффинное отображение (так как оно отображает множество всех несобственных точек плоскости на множество несобственных точек плоскости ).