§ 5. Линейная зависимость и независимость векторов

Эти алгебраические понятия принадлежат к важнейшим в математике; мы их изложим со всей тщательностью.

Линейная комбинация

векторов называется нетривиальной, если в ней хотя бы один из коэффициентов , отличен от нуля. Линейная комбинация вида

называется тривиальной; она, очевидно, равна нулевому вектору.

Определение. Система векторов называется линейно зависимой, если существует хотя бы одна нетривиальная комбинация этих векторов, равная нулевому вектору. В противном случае, т. е. если только тривиальная линейная комбинация данных векторов равна нулю, векторы называются линейно независимыми.

Докажем несколько простых, но важных предложений о линейной зависимости; они имеют чисто алгебраический характер и постоянно применяются.

1. Если среди векторов их, есть хотя бы один нулевой вектор, то вся система векторов линейно зависима.

В самом деле, если, например, их то, положив , получим нетривиальную линейную комбинацию

равную нулю.

2. Если среди векторов их, некоторые образуют линейно зависимую систему, то и вся система их, линейно зависима.

В самом деле, пусть векторы , линейно зависимы. Значит, существует нетривиальная линейная комбинация равная нулевому вектору 0.

Но тогда, полагая , получим также нетривиальную линейную комбинацию

равную нулевому вектору.

Непосредственным логическим следствием предложения 2 является 2. Если система векторов их, линейно независима, то и всякая ее подсистема линейно независима.

3. Если система линейно зависима, то по крайней мере один из векторов равен линейной комбинации остальных.

В самом деле, пусть

где по крайней мерс один коэффициент отличен от нуля. Пусть, например, . Тогда равенство (1) можно переписать в виде

т. e. их есть линейная комбинация векторов .

Обратно:

4. Если среди векторов один какой-нибудь есть линейная комбинация остальных, то система линейно зависима.

В самом деле, если, например, то нетривиальная линейная комбинация равна нулевому вектору.

Следующее часто применяемое предложение усиливает предложение 3:

5. Если система векторов линейно зависима, а система линейно независима, то вектор равен линейной комбинации векторов

В самом деле, так как система их, линейно зависима, то существует нетривиальная линейная комбинация , равная нулевому вектору; в ней , так как в противном случае векторы , были бы линейно зависимы. Следовательно, , что и требовалось доказать.