§ 2. Преобразование векторов при аффинном преобразовании плоскости и пространства. Основные свойства аффинных преобразований

Возьмем на плоскости (или в пространстве) какой-нибудь вектор (рис. 142). При аффинном преобразовании точки переходят соответственно в точки , имеющие относительно нового репера те же координаты, которые точки имели относительно старого. Так как координаты вектора получаются вычитанием координат его начальной точки из координат его конца, то координаты вектора относительно нового репера те же, что и координаты вектора относительно старого репера. Итак:

При аффинном преобразовании вектору ставится в соответствие вектор , имеющий относительно нового репера те же координаты, которые вектор и имел относительно старого.

Отсюда сразу следует, что при аффиниом преобразовании равным векторам соответствуют равные, так что:

2° Аффинное преобразование плоскости (пространства) порождает ьзаимно однозначное отображение на себя (преобразование) многообразия V всех свободных векторов плоскости (соответственно пространства).

Это преобразование обладает следующим свойством линейности: если при данном преобразовании векторам и, v соответствуют векторы u, v, то вектору будет соответствовать вектор , а вектору — вектор Ли (доказывается сразу переходом к координатам). Из свойства линейности вытекает, далее:

Если при данном аффинном преобразовании векторам соответствуют векторы , то всякой линейной комбинации

векторов соответствует линейная комбинация

Рис. 142.

векторов (с теми же коэффициентами ).

Так как при аффинном преобразовании нулевому вектору очевидно соответствует нулевой, то из доказанного следует:

4° При аффинном преобразовании линейная зависимость векторов сохраняется , значит, всякие два коллинеарных вектора переходят в коллинеарные, всякие три компланарных вектора переходят в компланарные).

5° Обратное преобразование к аффинному преобразованию есть аффинное преобразование.

В самом деле, если данное аффннное преобразование А плоскости задается переходом от репера к реперу , то аффинное преобразование, задаваемое переходом от репера к реперу , есть, как легко видеть, преобразование, обратное к преобразованию А.

То же и для пространства.

Мы видели, что при аффинном преобразовании линейная зависимость векторов сохраняется. Сохраняется и линейная независимость векторов:

6° При аффинном преобразовании А всякая линейно независимая система векторов их, . переходил в линейно независимую — в противном случае при аффинном преобразовании , обратном к А, линейно зависимая система и, . перешла бы в линейно независимую, что, как мы знаем, невозможно.

Так как репер есть система линейно независимых векторов (двух на плоскости, трех в пространстве), приложенных к данной точке О, то при аффинном преобразовании всякий репер переходит в репер. Более того, имеет место предложение

7° При аффинном отображении (заданном переходом от репера I к реперу ) всякий репер II переходит в репер [ и всякая точка М (всякий вектор и) переходит в точку М (в вектор ) с теми же координатами относительно репера , какие точка М и вектор и имели относительно репера II.

Доказательство в случае плоскости и в случае пространства одно и то же. Ограничимся случаем плоскости. Пусть II есть репер (рис. 143), а — репер сначала утверждение, касающееся векторов. Если вектор и имеет относительно репера координаты , то . Но тогда образ вектора и есть, по свойству 3°, вектор

имеющий координаты относительно репера . Пусть точка М имеет координаты относительно репера .

Тогда , гак что, по предыдущему, относительно репера сектор ОМ, а значит, и точка М имеют координаты . Утверждение доказано.

Рис. 143.

Доказанное утверждение является существенным: из него следует, что, задав аффинное преобразование переходом от какого-нибудь репера к реперу , мы можем задать его, взяв в качестве исходного любой репер и указав тот репер , в который он должен перейти.

В качестве приложения только что сделанного замечания докажем, что произведение двух аффинных преобразований есть аффинное преобразование.

В самом деле, пусть аффинное преобразование задается переходом от репера I к реперу II. Аффинное преобразование мы можем, по только что доказанному, задать переходом от репера II к какому-то реперу III. Тогда аффинное преобразование, задаваемое переходом от репера I к реперу III, есть, очевидно, произведение преобразования на преобразование .

Замечание 1. Только что доказанные свойства 1° — 7° аффинных преобразований, очевидно, имеют место и для аффинных отображений одной плоскости на другую (одного экземпляра трехмерного пространства на другой).

Тождественное преобразование плоскости, соответственно пространства, есть, очевидно, аффинное преобразование. Вспомним, что преобразование, обратное к аффинному, есть аффинное. Наконец, как мы только что доказали, произведение двух аффинных преобразований есть аффинное преобразование. Отсюда — на основании условия, данного в § 6, п. 6, Прибавления, — сразу вытекает следующая основная

Теорема 1. В группе всех преобразований плоскости (пространства) аффинные преобразования образуют подгруппу.

Среди аффинных преобразований движения выделяются тем, что они могут быть заданы переходом от одной прямоугольной системы координат к другой, тоже прямоугольной и имеющей тот же масштаб. Обратное преобразование к движению есть движение, и произведение двух движений есть движение. Так как тождественное преобразование есть частный случай движения, то (в полной аналогии с теоремой 1) имеет место и

Теорема 1. В группе всех аффинных преобразований движения образуют подгруппу.

Продолжаем перечисление простейших свойств аффинных преобразований и отображений.

Три точки тогда и только тогда коллинеарны (т. е. лежат на одной прямой), когда векторы коллинеарны. А так как коллинеарность векторов при аффинном преобразовании сохраняется, то сохраняется и коллинеарность точек. Отсюда вытекает:

. При аффинном отображении (плоскости или пространства) прямая переходит в прямую.

Мы сейчас дадим второе доказательство этого факта.

Пусть дано аффинное отображение. Оно состоит в том, что каждая точка М с координатами (в координатной системе ) переходит в точку М, имеющую те же координаты во второй системе . Отсюда следует:

9° При данном аффинном отображении (определенном переходом от репера , к реперу ) множество всех точек, координаты которых (в координатной системе ) удовлетворяют некоторому Уравнению, переходит в множество точек, координаты которых в системе удовлетворяют тому же уравнению.

В частности, прямая с уравнением

(в системе ) перейдет в прямую, имеющую то же уравнение, но только в системе координат .

Точно так же при аффинном преобразовании пространства (определенном переходом от репера к реперу ) плоскость, имеющая в системе уравнение

переходит в плоскость, имеющую то же уравнение (2), но только в системе координат .

Прямая, заданная в пространстве своим «общим уравнением»

или той или иной его специальной разновидностью, например каноническим уравнением

при данном аффинном преобразовании перейдет в прямую, имеющую те же уравнения, но только в системе координат . Итак, доказана

Теорема 2. При аффинном преобразовании плоскости, соответственно пространства, прямые переходят в прямые, плоскости переходят в плоскости.

При этом сохраняется параллельность.

В самом деле, если две прямые (или две плоскости, или прямая и плоскость) параллельны, то их уравнения относительно репера удовлетворяют известным условиям параллельности; но образы этих прямых (плоскостей) имеют те же уравнения относительно репера , и, значит, удовлетворяют тем же условиям параллельности.

Замечание 2. Сохранение параллельности при аффинном преобразовании можно вывести и пользуясь тем, что аффинное преобразование взаимно однозначно.

Действительно, при всяком взаимно однозначном отображении (например, пространства на себя) образ пересечения двух (любых) множеств есть пересечение образов этих множеств.

Значит, два пересекающихся множества при всяком взаимно однозначном отображении переходят в пересекающиеся.

Отсюда следует, что при аффинном преобразовании плоскости две параллельные прямые, а при аффинном отображении пространства две параллельные плоскости переходят в параллельные; сохраняется и свойство параллельности между прямой и плоскостью.

Пусть в пространстве даны две параллельные прямые; они лежат в одной плоскости и не пересекаются. При аффинном преобразовании пространства эти две прямые перейдут в две прямые, также лежащие в одной плоскости и не пересекающиеся, т. е. в две параллельные прямые.

Теорема 3. При аффинном преобразовании плоскости (пространства), переводящем прямую d в прямую , отрезок прямой d переходит в отрезок прямой а точка М прямой d, делящая отрезок в данном отношении К, переходит в точку

М прямой d, делящую отрезок в том же отношении (рис. 144).

Доказательство. Так как при положительном А. мы получаем точки, лежащие внутри отрезка (соответственно а при отрицательном — вне этого отрезка, то из второго утверждения теоремы 3 следует первое. Доказываем второе утверждение теоремы 3, ограничиваясь случаем плоскости. Пусть (в системе координат ) имеем

Так как точка М делит отрезок в отношении , то

в пространстве к этим равенствам присоединится еще равенство . При данном аффинном преобразовании точки перейдут в точки с теми же координатами, что и у точек , но только в координатной системе . Эти координаты связаны по-прежнему соотношениями (3), из которых следует, что делит отрезок ММ в отношении . Этим теорема 3 доказана.

Рис. 144.

Пусть при аффинном преобразовании А пространства плоскость отображается на плоскость . Возьмем в плоскости какой-нибудь репер , т. е. пару неколлииеарных векторов , приложенных к какой-нибудь точке о (рис. 145). При преобразовании А точка о плоскости перейдет в точку о плоскости , неколлинеарные векторы перейдут в неколлинеарные векторы , т. е. репер от плоскости перейдет в репер плоскости .

Всякий лежащий в плоскости вектор при этом перейдет в лежащий в плоскости вектор с теми же координатами относительно репера , какие вектор и имел относительно репера . Отсюда следует, что и всякая точка М плоскости перейдет в точку М плоскости , имеющую относительно репера , те же самые координаты, какие точка М имела в плоскости относительно репера . Другими место Теорема 4. Пусть при аффинном преобразовании пространства плоскость я переходит в плоскость . Тогда преобразование А отображает произвольный репер плоскости на некоторый репер оаплоскости и ставит в соответствие каждой точке М плоскости точку М плоскости , имеющую относительно репера , те самые координаты, которые точка М имела относительно репера . Другими словами: преобразование А порождает аффинное отображение плоскости на плоскость .

Рис. 145.

Докажем в заключение этого параграфа следующее предложение. Теорема 5. Существует одно и только одно аффинное преобразование плоскости, переводящее данную тройку неколлинеарных точек

этой плоскости в (произвольную вторую) тройку неколлинеарных точек

той же плоскости.

Аналогично существует одно и только одно аффинное преобразование пространства, переводящее данную четверку некомпланарных точек

в (произвольную) вторую четверку некомпланарных точек

Доказательство в обоих случаях, плоскости и пространства, одно и то же. Ограничимся случаем плоскости.

Берем координатную систему с началом О и единичными векторами (рис. )

а также координатную систему с началом О и единичными векторами

Этим определено аффинное преобразование А, переводящее каждую точку М, имеющую и системе , координаты , в точку М с теми же координатами, но в системе . В частности, точка перейдет в О, точка — в точку А, точка точку В, а векторы и перейдут соответственно в .

Рис. 146.

Таким образом, преобразование А удовлетворяет требованиям теоремы. Оно есть единственное аффинное преобразование, удовлетворяющее этим требованиям. В самом деле, всякое аффинное преобразование, переводящее точки О, А, В соответственно в , переводит векторы соответственно в , значит, совпадает с преобразованием А.