§ 10. Умножение детерминантов

Пусть требуется перемножить два детерминанта третьего порядка!

Рассмотрим детерминант шестого порядка

При любых элементах помещенных в левом нижнем углу детерминанта (1), значение этого детерминанта по теореме Лапласа равно АВ.

Пользуясь этой свободой в выборе элементов , можем написать

Преобразуем теперь четвертый столбец нашего детерминанта, прибавив к нему (почленно)

К пятому столбцу прибавим

Наконец, к шестому столбцу прибавим

В результате детерминант P своего значения не изменит, но запишется в виде

где

(2)

Применяя теорему Лапласа к последним трем строкам этого детерминанта, видим, что он равен

Назовем (формальным) скалярным произведением двух троек чисел число .

Теперь можем следующим образом сформулировать полученное правило умножения детерминантов.

Теорема 8. Произведение двух детерминантов порядка А и В есть детерминант порядка P, элемент которого , стоящий на пересечении строки и столбца, есть (формальное) скалярное произведение строки детерминанта А на столбец детерминанта В.

Замечание 1. Замена строк столбцами в одном (или в обоих) из перемножаемых детерминантов приводит к соответствующим вариантам правила умножения детерминантов: вместо (формального) произведения строки детерминанта А на столбец детерминанта В молено (для получения элемента ) детерминанта P (формально) умножать

— всего четыре варианта.

Замечание 2. Мы провели доказательство правила умножения детерминантов порядка для это доказательство, однако, совершенно общее, и читатель сам должен переизложить его для любого .