§ 2. Множества

В § 1 мы имели дело лишь с конечными множествами. Но бывают и бесконечные множества. Таковы, например, множество всех натуральных (т. е. целых и положительных) чисел, множество всех точек плоскости или пространства, множество всех прямых, проходящих через данную точку (в плоскости или в пространстве), множество всех окружностей, проходящих через две данные точки, множество всех плоскостей, проходящих через данную прямую, и т. д.

Теория множеств посвящена в основном изучению именно бесконечных множеств.

Теория конечных множеств называется иногда комбинаторикой.

Но простейшие свойства множеств, те, о которых мы только и будем здесь говорить, в большинстве случаев в равной мере относятся как к конечным, так и к бесконечным множествам.

Заметим еще одно обстоятельство: в математике вполне допускаются к рассмотрению множества, число элементов которых равняется единице, а также множество, вовсе не содержащее элементов («пустое» множество).

Предположим, в самом деле, что мы вообще говорим о множестве окружностей, проходящих через несколько данных точек. Если этих точек две, то множество проходящих через них окружностей бесконечно; но если этих точек три, то имеется (в случае, если эти три точки не лежат на одной прямой) лишь одна проходящая через них окружность. Другими словами, множество окружностей, проходящих через три точки, не лежащие на одной прямой, состоит из одного элемента. А множество окружностей, проходящих через три точки, лежащие на одной прямой, не содержит ни одного элемента; это — пустое множество, так как таких окружностей вовсе нет.

Заметим, наконец: запись означает, что а есть элемент множества X. Например, если X есть множество всех точек плоскости, а М — какая-нибудь из этих точек, то пишут:

Подмножества. Рассмотрим множество А всех студентов, присутствующих на данной лекции. Тогда множество тех из них, которым меньше 20 лет, является примером подмножества множества А.

Примеры других подмножеств множества А: подмножество, состоящее из всех студентов, рост которых больше 165 см, или из тех, которые родились в Москве, и т. д.

Каждый отдельный элемент множества А образует подмножество, состоящее из этого одного элемента.

Кроме того, пустое множество является подмножеством всякого множества.

Общее определение подмножества такое:

Множество В называется подмножеством множества А, если каждый элемент множества В является в то же время элементом множества А.

Подмножество множества А называется несобственным, если оно совпадает с множеством А (другими словами, само множество А причисляется к своим подмножествам и называется своим несобственным подмножеством). Если множество В есть подмножество множества А, то говорим также, что В содержится в А или В включено в А, и обозначаем это так: или Знак S называется знаком включения. Подмножество В множества А называется собственным подмножеством, если В не пусто и не совпадает с А (т. е. имеется элемент множества А, не содержащийся в В). Если В есть собственное подмножество множества А, то пишут или

Дадим еще примеры. Множество всех четных чисел есть собственное подмножество множества всех целых чисел, которое в свою очередь есть подмножество множества всех рациональных чисел.

Действия над множествами, а) Сумма множеств. Вернемся к уже рассмотренному примеру.

Среди всех студентов, присутствующих в данной аудитории, рассмотрим множество М всех тех, которые удовлетворяют хотя бы одному из следующих признаков:

1) они моложе 20 лет,

2) их рост больше 165 см.

Другими словами, в наше множество М войдут все студенты, которым меньше 20 лет (независимо от их роста), а также все те, рост которых больше 165 см (независимо от их возраста). Множество М называется суммой двух множеств: множества всех студентов моложе 20 лет и множества всех студентов, рост которых больше 165 см.

Общее определение суммы двух множеств А и В. Суммой множеств А и В называется множество, состоящее из всех элементов множества А и из всех элементов множества В (при этом множества А и В могут иметь общие элементы, а могут и не иметь их).

Заметим, в частности, следующее: если множество В есть подмножество множества А, то сумма множеств В и А совпадает с А.

Совершенно аналогичным образом определяется сумма любого числа множеств. Можно определить и сумму бесконечного числа множеств. Все это содержится в следующем определении.

Пусть дана какая-нибудь конечная или бесконечная совокупность множеств. Суммой множеств данной совокупности называется множество всех элементов, принадлежащих хотя бы одному из множеств, входящих в данную совокупность.

Например, пусть есть множество всех правильных -угольников на плоскости (где . Таким образом, есть множество всех правильных треугольников, — множество всех правильных четырехугольников и т. д.

Множество всех правильных многоугольников есть сумма множеств

Обозначим через множество всех правильных многоугольников, число сторон которых не превосходит k. Тогда есть сумма множеств и множество всех правильных многоугольников есть сумма всех множеств

Очевидно, далее, что и что

б) Пересечение множеств. Пусть — множество присутствующих в аудитории студентов моложе 20 лет, а — множество тех присутствующих в аудитории студентов, рост которых больше 165 см.

Под пересечением множеств и понимается множество элементов, принадлежащих и к множеству и к множеству т. е. в нашем примере множество всех студентов моложе 20 лет, рост которых в то же время больше 165 см. Конечно, это множество может оказаться и пустым.

Вообще, пересечением множеств данной (конечной или бесконечной) совокупности множеств называется множество, состоящее из элементов, принадлежащих ко всем множествам данной совокупности.

Заметим: если то пересечение множеств А и В есть множество В.

Задача. Условимся под треугольником понимать множество всех точек, лежащих внутри этого треугольника.

Докажите, что сумма всех правильных треугольников, вписанных в круг с центром О и радиусом 1, есть множество всех точек, лежащих внутри этого круга, а пересечение этих треугольников есть множество точек, лежащих внутри круга с центром О и радиусом у.

Сформулируйте и решите аналогичную задачу для вписанных квадратов и других правильных многоугольников, а также для правильных многоугольников, описанных около круга.