§ 5. Центр поверхности второго порядка

Пусть снова даны: произвольная аффинная система координат , поверхность второго порядка с уравнением

(1)

и прямая

неасимптотпческого направления.

Точки пересечения прямой (2) с поверхностью (1) суть точки где

а суть корни квадратного уравнения

в котором коэффициенты А, В, С суть

и, как всегда,

Точка является серединой отрезка тогда и только тогда, когда одновременно

т. е. (так как среди чисел по крайней мере одно отлично от нуля) когда .

Но следовательно:

Тогда и только тогда есть середина отрезка когда т. е. когда

Теперь возникает вопрос: пет ли такой точки которая являлась бы серединой всякой хорды, через нее проходящей? Заметим, что такой точкой является всякий центр симметрии нашей поверхности (если он существует).

Итак, мы шцем те точки для которых условие (6) выполняется при любом выборе неасимптотического направления

Докажем, что для искомых точек должны одновременно удовлетворяться равенства

Лемма. Для всякой поверхности второго порядка (1) можно найти три неасимптотических направления, не компланарных между собой.

В самом деле, рассмотрим множество всех точек , удовлетворяющих уравнению

Точки , удовлетворяющие этому уравнению, и только они обладают тем свойством, что вектор имеет асимптотическое направление.

В плоскости уравнение (8) определяет кривую второго порядка

(быть может, если , вырождающуюся в прямую).

Возьмем на плоскости три неколлинеарные точки не лежащие на кривой (9). Тогда дадут нам три некомнланарных неасимптотических направления. Лемма доказана.

Итак, пусть — три некомпланарных направления, не асимптотических но отношению к поверхности (1). Для каждого из них должно, по предположению, выполниться равенство т. е. должно быть одновременно

Но векторы компланарны, т. е. в матрице

строки, а значит, и столбцы линейно независимы, а это значит, что в равенствах (10) коэффициенты должны равняться нулю. Утверждение доказано: всякий центр симметрии поверхности (1) удовлетворяет равенствам

или, в развернутом виде,

Докажем теперь обратное предложение:

Всякая точка координаты которой, удовлетворяют уравнениям (11), есть центр симметрии поверхности (1).

Для доказательства вспомним (гл. XV, § 2), что при замене переменных

соответствующей перенесению начала координат в точку многочлен переходит в многочлен в котором коэффициенты суть

Итак, если, сохраняя единичные векторы системы координат , мы перенесем ее начало в точку удовлетворяющую уравнениям (11), то в полученной таким образом новой системе координат уравнение поверхности (1) будет

где Из этого уравнения ясно, что новое начало координат О, т. е. точка есть центр симметрии поверхности (). Утверждение доказано.

Заметим, что уравнения (11) решаются однозначно тогда и только тогда, когда

т. е. дискриминант квадратичной формы отличен от нуля. Поверхности, удовлетворяющие этому условию, принято называть центральными: это те поверхности второго порядка, которые имеют центр симметрии, и притом только один.

Пусть поверхность (1) является центральной, т. е. пусть (или, что то же, а значит, поверхность (1) имеет единственный центр Положим и перенесем начало координат в точку .

В полученной таким образом новой системе координат (единичные векторы которой суть те же, что и в первоначальной системе ) уравнение (1) нашей поверхности принимает вид

Заметим, что большой детерминант многочлена есть

т. е.

Итак, в любой системе аффинных координат, начало которой есть единственный центр центральной поверхности (1), уравнение этой поверхности имеет вид

где

Если то и . Разделив с самого начала обе части уравнения (1) на можем предположить, что т. е. что уравнение (1') имеет вид

Если же то уравнение (1) имеет вид апхг

В нецентральном случае, т. е. в случае ранг матрицы

квадратичной формы не превосходит 2. В этом случае уравнения (11) либо тогда поверхность не имеет ни одного центра, либо система этих уравнений совместна, и тогда точки, являющие ся решениями, заполняют целую прямую (при или целую плоскость (при ).

Выясним, наконец, когда центр (или один из центров) поверхности (1) лежит на самой этой поверхности. Для этого нужно, чтобы кроме равенств (11) имело место еще и равенство . Как было установлено в § 3, замечание на стр. 513, последнее равенство при выполнении равенств (11) эквивалентно равенству Другими словами, необходимое и достаточное условие для того, чтобы точка была лежащим на поверхности (1) центром поверхности, заключается в том, чтобы координаты точки удовлетворяли системе четырех уравнений:

Как мы уже напоминали в § 3, система этих уравнений совместна, лишь когда равен нулю детерминант

т. е. когда поверхность (1) является вырожденной. Точка удовлетворяя уравнениям (13), есть особая точка поверхности (см. конец § 3). Итак, лежащий на (вырожденной) поверхности центр ее является особой точкой поверхности).

Мы увидим в следующей главе, что особые точки имеются лишь у следующих поверхностей второго порядка:

1) Конус: единственная особая точка, являющаяся вместе с тем единственным центром конуса, есть его вершина.

2) Пара пересекающихся плоскостей: прямая пересечения этих плоскостей есть вместе с тем прямая центров распавшейся поверхности, совпадающая с множеством ее особых точек.

3) Поверхность, являющаяся нарой совпадающих плоскостей, вся состоит из особых точек: каждая из них есть центр поверхности.