§ 4. Векторное произведение двух векторов

1. Бивекторы. Пару векторов u, V, данных в определенном порядке и приложенных к одной какой-нибудь точке пространства, назовем («приложенным») бивектором.

Бивектор считается равным нулю, если составляющие его векторы коллинеарны, и только в этом случае. Модулем ненулевого бивектора называется положительное число, равное площади параллелограмма, построенного на составляющих его векторах. Модуль нулевого бивектора, естественно, полагается равным нулю.

Каждый ненулевой бивектор u, v, приложенный к какой-нибудь точке О, определяет несущую его ориентированную плоскость, а именно плоскость, в которой базис u, v объявлен положительным.

Мы будем говорить, что два бивектора u, v и u, v одноименны или одинаково ориентированы, если они, будучи приложены к одной и той же точке О, определяют одну и ту же плоскость и одну и ту же ориентацию в ней (т. е. если базисы u, v и u, v суть одноименные базисы в плоскости ).

Два бивектора считаются равными, если они одинаково ориентированы и имеют один и же модуль (следует, разумеется, помнить, что из равенства бивекторов и u, v вовсе не следует, что составляющие их векторы соответственно равны).

Аналогично тому, как, объединяя в один класс все векторы, равные одному какому-нибудь среди них, мы получали новый геометрический объект — свободный вектор, так и разбивая множество всех бивекторов трехмерного пространства на классы равных между собою бивекторов, мы каждый такой класс назовем «свободным бивектором». Впрочем, мы сейчас покажем, что это понятие, при всем его изяществе, излишне: в трехмерном пространстве понятие бивектора оказывается возможным свести к понятию вектора. В самом деле, пусть наше пространство ориентировано.

Тогда каждый ненулевой бивектор u, v однозначно определяет (свободный) вектор , длина которого равна модулю бивектора, а направление перпендикулярно к плоскости, несущей векторы U и v, и таково, что тройка векторов u, v, n образует положительный базис нашего ориентированного пространства. Для нулевого бивектора u, v вектор есть нулевой вектор. Легко видеть, что два бивектора u, v и u, v тогда и только тогда равны между собою, когда равны построенные для них векторы: .

Рис. 116.

С другой стороны, каждый свободный вектор w пространства является вектором для некоторого бивектора u, V, а именно для любого бивектора u, v, построенного следующим образом: берется плоскость , перпендикулярная к вектору w, и в ней выбираются два вектора так, чтобы площадь построенного на них параллелограмма равнялась длине вектора w; векторы берутся в таком порядке, чтобы, присоединив к ним третий вектор w, получить положительный базис u, v, w пространства; тогда, очевидно, . Таким образом, сопоставляя с каждым бивектором u, v построенный для него вектор , мы получаем взаимно однозначное соответствие между всеми свободными бивекторами u, v, с одной стороны, и всеми свободными векторами w трехмерного пространства — с другой. Получается, что в трехмерном пространстве понятие свободного бивектора сводится к понятию свободного вектора и, следовательно, излишне.

2. Векторное произведение. Определение. Векторным произведением вектора и на вектор v называется вектор , модуль которого равен произведению модулей векторов U и v на синус угла между ними: этот вектор перпендикулярен к плоскости , в которой лежат векторы и и V, если их отложить от одной точки; он направлен так, что упорядоченная тройка векторов u, v, имеет положительную ориентацию (рис. 116).

1. Вектор ное произведение вектора и на вектор v обозначается через .

Установим некоторые свойства векторного произведения.

I. Векторное произведение равно нулю тогда и только тогда, когда векторы и и v коллинеарны.

II (Антикоммутативность),

III. При умножении какого-либо из векторов и или на произвольное вещественное число на это же число умножается и векторное произведение: .

Эти свойства являются непосредственными следствиями определения вектора .

Имеет место и

IV (Дистрибутивность).

Вследствие свойства II достаточно доказать одну какую-нибудь из формул (1), например первую. Прежде чем делать это, вычислим (в какой-нибудь прямоугольной системе координат) координаты вектора но координатам векторов и и v. Для этого в свою очередь докажем следующее очень важное предложение.

Рис. 117.

V. Скалярное произведение вектора на какой-нибудь вектор w равняется объему ориентированного параллелепипеда, натянутого на векторы и, :

Предположим сначала, что векторы u, v, w компланарны. Тогда правая часть равенства (2) обращается в нуль. Докажем, что и левая равна нулю. Это очевидно, если векторы и и v коллинеарны — тогда , значит, и . Пусть и и v неколлинеарпы, и пусть — несущая их плоскость. Так как векторы u, v, w компланарны (рис. 117), то и w лежит в плоскости .

Но вектор перпендикулярен к плоскости , значит, . Итак, в случае компланарности векторов u, v, w равенство (2) верно — обе его части равны нулю.

Пусть теперь векторы u, v, w не компланарны. Положим и будем считать параллелограмм, построенный на векторах и и v, основанием параллелепипеда, построенного на векторах u, v, w (рис. 118); положительное число, выражающее (элементарно определенную) площадь этого параллелограмма, есть , так что формула (2) переписывается в виде

С другой стороны, скалярное произведение может быть записано в виде

что и требовалось доказать.

Формула (2) (если ее читать справа налево) может служить определением функции , которая при таком подходе к ней называется смешанным произведением трех векторов .

Рис. 118.

Пусть теперь — в какой-нибудь прямоугольной системе координат — имеем

Найдем координаты X, Y, Z вектора . Так как система координат прямоугольная, то

и аналогично

Но поэтому

и аналогично

Другими словами, если в прямоугольной системе координат векторы даны в виде , то вектор может быть записан в виде разложенного по элементам третьей строки детерминанта:

Выведем отсюда формулы дистрибутивности IV.

Пусть тогда , и мы имеем

что и требовалось доказать.