§ 6. Арифметическое n-мерное векторное многообразие (пространство). Общее определение матрицы. Детерминанты любого порядка

Мы разобрали подробно детерминанты порядков и Наша задача — обобщить полученные результаты на случай любого . Сначала распространим векторную терминологию, которой мы пользовались при , также на любое .

1. Арифметическое n-мерное векторное пространство. Итак, пусть дано произвольное натуральное число n. Будем называть любой набор из действительных чисел, данных в определенном порядке:

вектором, сами числа будем иногда называть координатами вектора . Совокупность всех векторов будем называть арифметическим n-мерным векторным многообразием или пространством. При мы получаем уже известные нам векторные трехмерные многообразия в предположении, что в пространстве выбран определенный базис, позволяющий записать каждый вектор трехмерного векторного многообразия в виде .

Суммой двух векторов арифметического n-мерного пространства будем называть вектор

Произведением вектора на число К будем называть вектор .

Нулевым вектором называется вектор . Это единственный вектор, удовлетворяющий для любого вектора v условию .

Вектором, противоположным вектору , называем вектор

это единственный вектор, дающий в сумме с вектором v нулевой вектор.

Легко видеть, что определенные таким образом линейные операции над векторами обладают всеми алгебраическими свойствами, перечисленными в § 2 главы II (коммутативность и ассоциативность сложения, свойства дистрибутивности умножения на число и т. д.). В частности, верны формулы: . Так же, как и в главе II, вводим для векторов n-мерного арифметического пространства понятия линейной комбинации, линейной зависимости (и независимости) и доказываем все алгебраические предложения из § 5 главы II (формулировки и доказательства сохраняются дословно).

Замечание 1. В качестве обязательного упражнения читателю предлагается доказать, что векторы

n-мерного арифметического пространства линейно независимы и что каждый вектор , записывается (при этом единственным образом) в виде линейной комбинации векторов а именно:

2. Общее определение матрицы. Детерминанты порядка. Невырождающиеся матрицы. Матрицей называется любая прямоугольная таблица вида

состоящая из m строк и столбцов.

Если , то матрица называется квадратной, а число называется ее порядком.

Мы будем предполагать, что элементы матрицы суть числа (но в математике рассматриваются и матрицы, элементами которых являются, например, функции и вообще любые элементы какого-нибудь заданного множества).

Матрица

которую мы получим, сделав столбцы матрицы А строками матрицы А (а строки — столбцами, с сохранением порядка тех и других), называется матрицей, транспонированной к матрице А,

Очевидно, .

Переходим к определению детерминанта (квадратной) матрицы А порядка n:

Назовем молнией любое множество, состоящее из элементов матрицы (1) и удовлетворяющее тому условию, что никакие два элемента этого множества не принадлежат одному столбцу или одной строке. Каждая молния содержит, следозательно, ровно по одному элементу из каждой строки и ровно по одному элементу из каждого столбца. Если эти элементы расположить в порядке возрастания номеров содержащих их строк, то молния запишется в виде

Если писать ту же молнию а порядке возрастания номеров столбцов, то она запишется в виде

Каждая молния порождает вполне определенное взаимно однозначное соответствие между строками и столбцами матрицы А, а именно:

Это же соответствие может быть записано и в виде

Другими словами, имеем одну и ту же перестановку

так что перестановки

взаимно обратны и, следовательно, имеют один и тот же знак, называемый знаком молнии. Произведение всех элементов данной молнии, взятое со знаком , если молния положительная, и со знаком , если она отрицательная, называется зарядом молнии. Сумма зарядов всех молний данной матрицы называется детерминантом этой матрицы. Детерминант матрицы порядка кратко называется детер» минантом порядка и обозначается через

(суммирование по всем перестановкам , соответственно ).

Уже при изучении матриц второго и третьего порядка мы могли убедиться, насколько важным является обращение или необращение в нуль детерминанта матрицы. Поэтому введем следующее

Определение. Матрица А называется невырождающейся, если она есть квадратная матрица с детерминантом, отличным от нуля.

3. Основные свойства детерминантов. Перечислим основные свойства детерминантов порядка.

1° Данная матрица

и транспонированная матрица

имеют один и тот же детерминант.

В самом деле, каждая молния

одной из двух матриц является молнией и другой матрицы; при этом производимая данной молнией перестановка строк одной матрицы является в другой матрице перестановкой столбцов. Поэтому в обеих матрицах каждая данная молния имеет один и тот же знак, значит, и один и тот же заряд. Сумма зарядов всех молний в матрицах А и одна и та же, а это и значит, что .

Свойство 1° детерминанта имеет своим следствием, что каждое высказывание, верное для строк детерминанта, сохраняет свою силу и для столбцов, и обратно.

2° Если все элементы какой-либо строки (какого-либо столбца) матрицы А умножить на произвольное число , то на это же к умножится и весь детерминант матрицы А.

В самом деле, если мы строку

заменим строкой

то в каждой молнии

элемент заменится на , а остальные элементы останутся без изменения. Поэтому заряд каждой молнии умножится на , значит, на умножится и детерминант .

Обозначая векторы-строки матрицы А через

мы можем рассматривать детерминант как функцию векторов , ил и записывать его в виде

В этой записи свойство 2° выражается в виде

3° Если вектор-строка матрицы

есть суммма двух векторов ,

то

или, в более записи,

В самом деле, заряд каждой молнии детерминанта есть умноженное на знак перестановки число

Суммирование по всем молниям дает слева , а справа .

Введем теперь следующее весьма важное понятие.

Функция называется линейной — например, по аргументу v, — если

и

Аналогично для функций любого числа аргументов . Введя это определение, мы можем совокупность свойств 2° и 3° сформулировать так:

Детерминант есть функция от своих аргументов , линейная по каждому из этих аргументов.

Аналогичное утверждение имеет, разумеется, место, если рассматривать детерминант как функцию столбцов матрицы.

Очевидно (и следует из 2°) свойство

4° Если в матрице А какая-нибудь строка (столбец) состоит из нулей, то детерминант матрицы А равен нулю.

В самом деле, каждая молния матрицы А будет содержать нуль в числе элементов, значит, ее заряд будет равен нулю.

5° При перестановке двух строк (столбцов) матрицы ее нант, сохраняя свою абсолютную величину, меняет знак.

В самом деле, при перестановке двух каких-либо строк детерминанта, положим , в молнии

переставляются элементы и другими словами, порождаемая этой молнией перестановка столбцов

испытывает транспозицию , от чего знак этой перестановки, т. е. знак молнии, меняется на противоположный. Итак, при пере становке двух строк заряд каждой молнии, сохраняя свою абсолютную величину, меняет свой знак, откуда утверждение и следует. Аналогичное утверждение верно, конечно, и для столбцов.

Из свойства 5° вытекает свойство

Если в матрице имеются две одинаковые строки (два одинаковых столбца), то ее детерминант равен нулю.

Доказательство — как для матриц третьего порядка.

7° Если к какой-нибудь строке

матрицы почленно прибавить другую строку

помноженную на какое-нибудь число к, то детерминант матрицы изменит своего значения, т. е.

В самом деле (на основании свойств 3° и 2°),

Последовательно применяя это предложение, получаем, очевидно:

7 Если к какой-нибудь строке (столбцу) матрицы прибавить произвольную линейную комбинацию других строк (столбцов) той же матрицы, то значение детерминанта матрицы не изменится.

Отсюда в свою очередь вытекает:

8 Если какая-нибудь строка (какой-нибудь столбец) матрицы есть линейная комбинация других строк (столбцов) этой же матрицы, то детерминант матрицы равен нулю.

(Доказательство - как при )

Доказанное утверждение может быть сформулировано так:

8° Если строки (столбцы) матрицы образуют линейно зависимую систему, то детерминант матрицы равен нулю.

В § 7 главы XII мы докажем и обратное предложение.