§ 6. Движения как изометрические преобразования

Пусть А — преобразование плоскости (пространства), образ произвольной точки М при преобразовании А будем обозначать через М.

Образом направленного отрезка АВ при преобразовании А будем считать направленный отрезок АВ.

Преобразование А называется изометрическим, если для любых точек расстояние между равно расстоянию между

Мы знаем, что всякое движение есть изометрическое преобразование; в этом параграфе мы докажем обратное предложение.

Теорема 10. Всякое изометрическое преобразование (плоскости или пространства) есть движение.

В основе доказательства лежит

Лемма. Пусть ОА и ОВ — два вектора, приложенные к одной и той же точке О (рис. 148), а ОА, ОВ — их образы при данном изометрическом преобразовании; тогда скалярные произведения (ОА, ОВ) и , ОВ) равны.

Доказательство леммы. Имеем

Так как равны векторы, то равны и их скалярные квадраты:

т. е.

Рис. 148.

или, помня, что и

Эта формула верна для любых трех точек О, А, В, так что имеем

Но правые части равенств (1) и (1') равны (так как наше преобра; зоиание изометрично), поэтому равны и левые части, т. е.

что и требоналось доказать.

Рис. 149.

Пусть теперь , где , — какой-нибудь прямоугольный репер (рис. 149). При нашем изометрическом отображении точка О переходит в О, а орты ОА, ОВ, ОС переходят соответственно в орты ОА, ОВ, орты ОА, ОВ, ОС перпендикулярны, т. е. их попарные скалярные произведения равны нулю; то же, по лемме, будет иметь место и для ортов ОА, ОВ, ОС. Итак, прямоугольный репер переходит нашем преобразовании в прямоугольный репер , где .

Координаты х, у, z произвольной точки М в координатной системе суть скалярные произведения

Координаты точки М в системе суть скалярные произведения

Поэтому в силу леммы

т. е. точка М — образ точки М при преобразовании А — имеет в новой прямоугольной координатной системе те же координаты, которые точка М имела в старой; а это и значит, что наше преобразование есть движение.

Итак, изометрические отображения и движения (плоскости и это одно и то же.