§ 5. Системы линейных уравнений

В главе XII мы рассматривали лишь системы однородных линейных уравнений, теперь рассмотрим любые системы. Итак, пусть дана система уравнений первой степени с неизвестными:

Решением этих уравнений является, как и в случае однородной системы, всякий набор чисел , обращающий при подстановке систему (1) в систему числовых тождеств. Но, в отличие от случая однородной системы, мы теперь, в общем случае, будем решение рассматривать не как вектор, а как точку арифметического пространства (или, что приводит к тому же, любого -мерного аффинного пространства с заданной в нем системой координат). В частном случае, когда система (1) оказывается однородной, мы будем отождествлять точку с вектором ОМ , что позволит нам по-прежнему говорить о решениях однородных систем как о векторах.

Матрицей системы (1) будем по-прежнему называть матрицу

составленную из коэффициентов при неизвестных; ее ранг называется рангом системы уравнений (1).

Матрица

называется расширенной матрицей системы (1) (или, когда невозможны -просто «расширенной матрицей»). Система (1) называется линейно независимой, если совокупность всех строк расширенной матрицы (3) есть линейно независимая система.

Если заменить правые части в уравнениях (1) нулями, то получится однородная система уравнений

называемая однородной системой, соответствующей системе (1).

Начнем с некоторых совершенно простых, но важных предложений. Прежде всего, в отличие от однородных систем, которые всегда имеют по крайней мере одно решение, а именно нулевое , неоднородная система может не иметь ни одного решения; в этом случае система называется несовместной. Примером несовместной системы может служить система

а также система

Менее тривиален следующий пример. Пусть в трехмерном пространстве дана плоскость

в прямая, определяемая уравнениями

Тогда три уравнения

тогда и только тогда несовместны, когда прямая (II) параллельна (в собственном смысле) плоскости (I).

В этом случае все векторы, лежащие на прямой (II), лежат и в плоскости (I); матрица системы (III) имеет ранг 2; расширенная же матрица имеет ранг 3 (если бы она имела ранг 2, то прямая (II) лежала бы в плоскости .

Имеет место общая

Основная теорема I. Для того чтобы система уравненный (1) была совместной, необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы. А системы был равен рангу расширенной матрицы

В самом деле, если система (1) совместна и имеет решение , то вектор есть линейная комбинация векторов-столбцов матрицы А, а именно:

В этом случае вектор b содержится в векторном пространстве V, порожденном векторами так что обе системы векторов

и

являются системами образующих одного и того же пространства V; но теореме 8 главы XII максимальное число линейно независимых элементов, содержащихся соответственно в (4) и в (4), одно и то же. А это значит, что максимальное число линейно независимых столбцов в матрицах А и одно и то же, ранги этих матриц равны.

Если система (1) не имеет решения, то вектор не является линейной комбинацией векторов-столбцов матрицы А.

Возьмем какую-нибудь максимальную линейно независимую подсистему системы пусть она состоит из векторов , например из . Это означает, что ранг матрицы А равен . Так как вектор , не будучи линейной комбинацией векторов , тем более не является линейной комбинацией векторов , то система есть линейно независимая система, состоящая из столбцов матрицы , так что ранг этой матрицы больше ранга матрицы А. Теорема 1 доказана.

Напомним теперь совсем простой факт, доказанный еще в § 5 главы VII.

Лемма. Пусть — какое-нибудь определенное решение системы (1). Всякое решение системы (1) может быть записано в виде

где — какое-нибудь решение однородной системы (10).

Обратно, всякая точка , получаемая по формуле (5) из фиксированного решения системы (1) и любого решения системы (10), является решением системы (1).

Теперь в двух словах доказывается

Основная теорема 2. Пусть (1) есть совместная система ранга . Тогда множество ее решений. есть плоскость -мерного пространства, имеющая размерность .

Обратно, всякая -мерная плоскость -мерного пространства есть множество всех решений некоторой (линейно независимой) системы, состоящей из уравнений первой степени с неизвестными (имеющей, очевидно, ранг ).

Доказательство. Системы (1) и (10) имеют ранг ; множе ство всех решений системы (10) есть -мерное, , векторно пространство. Пусть — какое-нибудь определенное решение системы (1). Тогда все решения системы (1) получаются в виде (5), где — какой-нибудь вектор из V; другими словами, все решения системы (1) (и только они) суть концевые точки всевозможных векторов , приложенных к точке . А это и значит, что множество всех решений системы (1) есть -мерная плоскость (натянутая на точку и какие-нибудь векторы их, , образующие базнс пространства V).

Первое утверждение теоремы 2 доказано.

Доказываем второе утверждение. Пусть есть -мерная плоскость -мерного аффинного пространства . Предполагаем, что в выбрана некоторая система координат, тогда все точки М и все векторы и пространства записываются их координатами: . В плоскости берем произвольную точку . Тогда любой вектор плоскости и только вектор, лежащий в плоскости , может быть записан в виде этим равенством установлено взаимно однозначное соответствие между всеми векторами и и всеми точками М, лежащими в плоскости ; при этом, если , то

Но множество всех векторов, лежащих в плоскости (будучи -мерным подпространством векторного пространства V), есть множество решений некоторой однородной линейно независимой системы из уравнений с неизвестными пусть эта система есть

или, если заменить их значениями (5),

Вектор , тогда и только тогда удовлетворяет системе (6), если его конец удовлетворяет системе (6), в которой неизвестными служат уже .

Но все равно, сказать ли, что вектор лежит в плоскости (т. е. удовлетворяет системе ) или что в этой плоскости лежит его конец; поэтому множество всех точек , удовлетворяющих системе (6), совпадает с множеством всех точек плоскости . Полагая

Можем представить систему (6) в виде

Это и есть искомая независимая система из уравнений, множество решений которой есть множество всех точек данной -мерной плоскости и которая поэтому называется общей системой уравнений данной плоскости.

Замечание 1 (о параллельности). Плоскость размерности и плоскость размерности в -мерном пространстве называются параллельными между собою (в широком смысле), если многообразие V всех векторов, лежащих в плоскости , содержится в многообразии V всех векторов, лежащих в плоскости . Если две параллельные (в широком смысле) плоскости и имеют хотя бы одну общую точку , то одна из двух плоскостей — та, размерность которой меньше, — целиком лежит в другой. Доказательство может быть предоставлено читателю. В частности, если обе параллельные (в широком смысле) плоскости имеют одну и ту же размерность, то они либо совпадают между собою, либо не имеют ни одной общей точки. Во втором случае эти плоскости называются параллельными в собственном смысле слова. Для (-мерных плоскостей в -мерном пространстве получаем условия параллельности, которые совершенно аналогичны условиям параллельности обыкновенных двумерных плоскостей в трехмерном пространстве.

Плоскости размерности в -мерном пространстве часто называются гиперплоскостями -мерного пространства. Каждая гиперплоскость задается одним линейным уравнением

между координатами точек -мерного пространства , и каждое уравнение вида (8) определяет некоторую гиперплоскость в . Два уравнения этого вида тогда и только тогда эквивалентны между собою (т. е. определяют одну и ту же гиперплоскость), когда их коэффициенты пропорциональны.

Каждая гиперплоскость, заданная уравнением (8), разбивает пространство на два полупространства: одно состоит из всех точек , в которых многочлен

принимает положительные значения, другое — из тех точек, в которых этот многочлен принимает отрицательные значения.

Про две точки говорят, что они лежат по одну или по разные стороны от гиперплоскости (8), в зависимости от того, принадлежат ли они к одному или к разным полупространствам, определяемым данной гиперплоскостью.

Существенно отметить следующие факты: если две точки P и Q принадлежат к одному полупространству (лежат по одну сторону от гиперплоскости (8)), то к тому же полупространству принадлежат и все точки отрезка PQ. Другими словами: каждое полупространство является выпуклым множеством. Если же точки P и Q принадлежат к разным полупространствам (лежат по разные стороны от гиперплоскости (8)), то отрезок PQ пересекает гиперплоскость (8) в одной точке. Доказательства этих утверждений совершенно аналогичны доказательствам теоремы 2 (§ 6) главы V и теоремы 7 (§ 7) главы X.